Rotore — ingegnerismo.it

Il rotore di un campo vettoriale misura la tendenza locale del campo a produrre rotazione. In $\mathbb R^3$ , per un campo:

F=(P,Q,R),

il rotore è:

\operatorname{rot}F=\nabla\times F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ P & Q & R \end{vmatrix}.

Sviluppando il determinante formale:

\nabla\times F = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}, \dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}, \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right).

Il risultato è un campo vettoriale. La direzione del rotore indica l’asse locale della rotazione secondo la regola della mano destra; il modulo misura l’intensità della circolazione infinitesima.

Interpretazione locale

Il rotore può essere interpretato come densità di circuitazione. Intorno a un piccolo contorno chiuso, la circuitazione del campo divisa per l’area tende alla componente del rotore normale alla superficie:

(\nabla\times F)\cdot n = \lim_{A\to 0} \dfrac{1}{A} \oint_{\partial A}F\cdot dr.

Questa formula esprime il significato fisico: se un piccolo elemento immerso nel campo tenderebbe a ruotare, il rotore è non nullo. Se il campo scorre localmente senza circuitazione, la componente corrispondente del rotore è nulla.

Campo conservativo

In un dominio sufficientemente regolare e semplicemente connesso, un campo conservativo ha rotore nullo:

F=\nabla \phi \quad \Longrightarrow \quad \nabla\times F=0.

Il viceversa richiede ipotesi sul dominio. Un campo può avere rotore nullo localmente ma non essere globalmente conservativo se il dominio ha buchi o singolarità. Questo punto è importante in elettromagnetismo, fluidodinamica e analisi vettoriale.

Teorema di Stokes

Nel teorema di Stokes il flusso del rotore attraverso una superficie equivale alla circuitazione del campo lungo il bordo:

\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS = \oint_{\partial S}F\cdot dr.

Il teorema collega una proprietà locale del campo, il rotore, a una grandezza globale lungo il contorno. È la generalizzazione tridimensionale della relazione tra circolazione e rotazione locale.

Fluidodinamica

In fluidodinamica, il rotore del campo di velocità è la vorticità:

\omega=\nabla\times v.

La vorticità misura la rotazione locale del fluido. In un moto irrotazionale vale $\nabla\times v=0$ , ma ciò non significa che il fluido sia fermo: significa che non ha rotazione locale, pur potendo avere velocità non nulla e circuitazioni globali in domini non semplicemente connessi.

Per un moto rigido di rotazione con velocità angolare $\Omega$ , la vorticità è legata a $2\Omega$ . Questo spiega perché il rotore è una misura di rotazione locale, non solo un artificio algebrico.

Elettromagnetismo

In elettromagnetismo il rotore compare direttamente nelle equazioni di Maxwell. Per esempio:

\nabla\times E=-\dfrac{\partial B}{\partial t},

\nabla\times H=J+\dfrac{\partial D}{\partial t}.

Queste relazioni dicono che campi variabili e correnti generano strutture circuitanti dei campi elettrico e magnetico. Il rotore è quindi l’operatore naturale per descrivere induzione, propagazione elettromagnetica e campi vorticosi.

Caso bidimensionale

Per un campo piano $F=(P,Q)$ , spesso si considera la componente scalare uscente dal piano:

\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}.

È la componente $z$ del rotore del campo tridimensionale $(P,Q,0)$ . In problemi piani questa forma scalare è sufficiente per descrivere la rotazione locale.

Errori comuni

Il primo errore è confondere rotore e divergenza. La divergenza misura sorgenti e pozzi locali; il rotore misura circolazione locale. Il secondo errore è pensare che rotore nullo implichi sempre potenziale globale: servono condizioni sul dominio. Il terzo è leggere il determinante formale come un determinante ordinario, dimenticando che contiene operatori differenziali.

Il rotore è quindi l’operatore che traduce in forma differenziale il concetto di circolazione: locale nella definizione, globale attraverso il teorema di Stokes, operativo in fluidodinamica ed elettromagnetismo.