Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes mette in relazione la circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa nello spazio con il flusso del rotore del campo attraverso una qualsiasi superficie che abbia quella curva come bordo.

Enunciato

Sia $S$ una superficie regolare orientata nello spazio e $\partial S$ il suo bordo. Se $\mathbf{F}$ è un campo vettoriale con derivate parziali continue, allora: $\oint_{\partial S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ dove $\nabla \times \mathbf{F}$ è il rotore del campo e $\mathbf{n}$ è il versore normale alla superficie.

Significato Fisico

Il teorema afferma che la “spinta” totale lungo un cammino chiuso è uguale alla somma delle “rotazioni locali” del campo su tutta la superficie racchiusa.

Significato Ingegneristico

• Elettromagnetismo: È fondamentale per passare dalla forma differenziale alla forma integrale delle equazioni di Maxwell. Ad esempio, collega la forza elettromotrice indotta alla variazione del flusso magnetico (Legge di Faraday-Lenz).
• Fluidodinamica: Permette di calcolare la circuitazione attorno a un profilo alare integrando la vorticità del fluido sulla sezione dell’ala.
• Analisi dei Campi: Fornisce un criterio per verificare se un campo è conservativo in domini non semplicemente connessi: un campo è conservativo se il rotore è nullo ovunque (condizione locale) e la circuitazione è nulla su ogni curva chiusa (condizione globale).