Il flusso di un campo vettoriale misura quanta parte del campo attraversa una superficie orientata. Non basta conoscere l’intensità del campo: conta anche l’angolo con cui il campo incontra la superficie e il verso della normale scelta.
dove \boldsymbol{\nu} è il versore normale alla superficie S. Il prodotto scalare \mathbf F\cdot\boldsymbol{\nu} seleziona solo la componente del campo perpendicolare alla superficie: la componente tangenziale non contribuisce al flusso.
Caso uniforme
Se il campo è costante, la superficie è piana e \theta è l’angolo tra il campo e la normale scelta, il flusso si riduce a:
Questa formula è utile come controllo dimensionale e geometrico, ma non sostituisce l’integrale di superficie quando il campo varia nello spazio o la superficie è curva.
Forma parametrica
Se la superficie è descritta da una parametrizzazione \boldsymbol{\sigma}(u,v) sul dominio D, il flusso si calcola senza introdurre separatamente il versore normale:
Il vettore \boldsymbol{\sigma}_u\times\boldsymbol{\sigma}_v contiene insieme area infinitesima e orientazione. Invertire l’orientazione cambia il segno del flusso. Per superfici chiuse si usa di norma la normale uscente.
Lettura fisica e ingegneristica
| Campo | Flusso | Interpretazione |
|---|---|---|
| Velocità di un fluido \displaystyle \mathbf v | \displaystyle \iint_S \mathbf v\cdot\boldsymbol{\nu}\,dS | Portata volumetrica attraverso una sezione. |
| Densità di corrente \displaystyle \mathbf J | \displaystyle \iint_S \mathbf J\cdot\boldsymbol{\nu}\,dS | Corrente elettrica totale che attraversa una superficie. |
| Campo elettrico \displaystyle \mathbf E | \displaystyle \iint_S \mathbf E\cdot d\mathbf S | Quantità usata nella legge di Gauss elettrica. |
| Campo magnetico \displaystyle \mathbf B | \displaystyle \iint_S \mathbf B\cdot d\mathbf S | Flusso magnetico nell’induzione elettromagnetica. |
| Densità di flusso termico \displaystyle \mathbf q | \displaystyle \iint_S \mathbf q\cdot\boldsymbol{\nu}\,dS | Potenza termica che attraversa una parete. |
Superfici aperte e chiuse
Su una superficie aperta il flusso dipende dalla superficie e dal verso scelto. Su una superficie chiusa, indicata spesso con \partial V, il flusso totale misura il bilancio uscente dal volume:
Questa forma è alla base del teorema della divergenza: il flusso uscente da una superficie chiusa è uguale all’integrale della divergenza nel volume racchiuso.
Errori comuni
| Errore | Correzione operativa |
|---|---|
| Confondere il modulo del campo con il flusso. | Serve la componente normale: un campo tangente alla superficie ha flusso nullo. |
| Dimenticare l’orientazione. | Cambiare normale cambia il segno del flusso. |
| Usare formule semplificate fuori simmetria. | \displaystyle \Phi=F A\cos\theta vale solo per campo uniforme su una superficie piana. |
| Trascurare il verso uscente sulle superfici chiuse. | Nei bilanci fisici si usa quasi sempre la normale uscente. |
Approfondimenti: campo vettoriale, integrali di superficie, superficie orientata, divergenza, campo elettrico, campo magnetico.