Teorema della Divergenza

Il Teorema della Divergenza (o Teorema di Gauss) mette in relazione il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa con l’integrale della divergenza del campo all’interno del volume racchiuso dalla superficie stessa.

Enunciato

Dato un volume $V$ limitato da una superficie chiusa $\partial V$ e un campo vettoriale $\mathbf{F}$ regolare: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \oiint_{\partial V} (\mathbf{F} \cdot \hat{n}) \, dS$ dove $\hat{n}$ è il versore normale uscente dalla superficie.

Significato Fisico

Il teorema afferma che la “sorgente” netta di un campo all’interno di un volume è uguale al flusso netto che attraversa il confine del volume. In ingegneria è fondamentale per:

• Formulare le Equazioni di Maxwell in forma integrale e differenziale.
• Studiare la dinamica dei fluidi (equazione di continuità).
• Analizzare il bilancio di massa o calore in un volume di controllo.