Il modello elettrico della membrana rappresenta la membrana cellulare come un circuito equivalente. È uno dei ponti principali tra bioelettricità ed elettrotecnica: la separazione di carica diventa capacità, il passaggio ionico diventa conduttanza, i gradienti elettrochimici diventano generatori di potenziale di equilibrio.
Il modello non pretende di sostituire la biologia molecolare dei canali ionici. Serve a descrivere, con leggi di circuito, come il potenziale di membrana cambia nel tempo quando correnti ioniche, stimoli esterni e proprietà passive della membrana interagiscono.
1. Convenzione per il potenziale di membrana
In fisiologia si usa spesso:
Con questa convenzione, una cellula a riposo ha spesso V_m<0: l’interno è elettricamente più negativo dell’esterno. Prima di scrivere correnti e segni è essenziale dichiarare questa convenzione, perché invertire il verso del potenziale cambia il segno delle equazioni.
Nel circuito equivalente si considera la membrana come il confine tra due soluzioni conduttive:
- ambiente intracellulare;
- ambiente extracellulare;
- doppio strato lipidico isolante;
- canali ionici selettivi;
- pompe e trasportatori che mantengono i gradienti.
2. Membrana come capacità
Il doppio strato lipidico separa cariche tra due mezzi conduttivi, quindi si comporta come un condensatore. La relazione capacitiva è:
Dove C_m è la capacità totale della membrana considerata. La corrente capacitiva è:
Se si usa una capacità specifica per unità di area c_m, allora:
dove A è l’area di membrana. Un ordine di grandezza molto usato nei modelli cellulari è:
Una cellula più grande ha capacità totale maggiore: per produrre la stessa variazione di potenziale serve più carica. Questo spiega perché dimensione cellulare e geometria influenzano tempi di risposta e stimolazione.
3. Canali ionici come conduttanze
I canali ionici vengono modellati come conduttanze in parallelo alla capacità. Ogni specie ionica ha un ramo elettrico associato a:
- una conduttanza g_i;
- un potenziale di equilibrio E_i;
- una corrente ionica I_i.
Il potenziale di equilibrio dello ione si calcola con l’equazione di Nernst. Nel modello circuitale, la corrente del ramo ionico si scrive spesso:
La differenza:
è la forza elettrochimica efficace del ramo: se V_m=E_i, quello ione è al proprio equilibrio e la corrente netta del ramo si annulla.
La conduttanza g_i può essere costante nei modelli passivi, oppure dipendere da tempo, potenziale, ligandi, temperatura e stato dei canali nei modelli attivi.
4. Circuito equivalente passivo
Il modello passivo più semplice contiene:
- una capacità di membrana C_m;
- una conduttanza di perdita g_m;
- un potenziale di equilibrio o di perdita E_L;
- una corrente applicata I_{\mathrm{app}}.
Con la convenzione in cui I_{\mathrm{app}} è positiva se depolarizza la membrana, una forma utile dell’equazione è:
Se non c’è corrente applicata, il potenziale ritorna verso E_L:
Poiché R_m=1/g_m, la costante di tempo passiva è:
oppure:
La soluzione del ritorno passivo verso l’equilibrio è:
La costante di tempo indica quanto rapidamente la membrana segue uno stimolo. Una membrana con grande R_m e grande C_m risponde lentamente; una membrana con forte conduttanza di perdita risponde più rapidamente ma disperde più corrente.
5. Più specie ioniche
Una membrana reale è attraversata da più ioni. Un modello passivo multiramo può essere scritto come:
Per esempio, in una descrizione elementare possono comparire rami per:
| Ione | Ruolo tipico |
|---|---|
| \mathrm{K^+} | dominante nel potenziale di riposo di molte cellule |
| \mathrm{Na^+} | importante nella depolarizzazione delle cellule eccitabili |
| \mathrm{Cl^-} | contribuisce a stabilizzazione, inibizione o equilibrio elettrico |
| \mathrm{Ca^{2+}} | coinvolto in segnalazione, contrazione e rilascio di neurotrasmettitori |
Il potenziale di membrana non è la media aritmetica dei potenziali di Nernst. Dipende da conduttanze o permeabilità relative. Quando il modello è formulato in termini di permeabilità, si usa l’equazione di Goldman; quando è formulato in termini circuitali locali, si usano conduttanze e correnti.
6. Modelli attivi
Nei modelli attivi, come quelli usati per il potenziale d’azione, le conduttanze ioniche non sono costanti. Dipendono dal potenziale e dal tempo perché i canali attraversano stati di apertura, chiusura e inattivazione.
La forma generale resta circuitale:
ma I_{\mathrm{ion}} contiene conduttanze variabili. Nel modello di Hodgkin-Huxley, per esempio, le conduttanze di sodio e potassio sono controllate da variabili di gating che descrivono la probabilità di apertura dei canali.
Il valore ingegneristico del modello è enorme: permette di simulare soglia, depolarizzazione, ripolarizzazione, refrattarietà, propagazione del segnale e risposta a stimoli elettrici.
7. Distinzione tra conduttanza e permeabilità
La conduttanza g_i non va confusa con la permeabilità di membrana P_i.
| Grandezza | Modello | Significato |
|---|---|---|
| g_i | circuito equivalente | rapporto locale tra corrente e forza elettrochimica |
| P_i | trasporto/permeabilità | facilità con cui lo ione attraversa la membrana nel modello di Goldman |
Sono grandezze collegate al passaggio ionico, ma non sono intercambiabili. Una conduttanza dipende dal numero e dallo stato dei canali disponibili; una permeabilità entra in modelli di diffusione elettrochimica e nelle equazioni di Goldman-Hodgkin-Katz.
8. Collegamento con strumentazione biomedica
Il modello elettrico della membrana è utile anche fuori dalla cellula singola. Aiuta a capire perché i biosegnali misurati in superficie siano piccoli, filtrati e sensibili al contatto elettrodo-tessuto.
Per acquisire segnali come elettrocardiogramma, elettroencefalografia ed elettromiografia, la strumentazione deve rispettare alcune esigenze:
- alta impedenza di ingresso, per non caricare la sorgente biologica;
- basso rumore;
- buon rigetto del modo comune;
- filtraggio prudente;
- sicurezza elettrica;
- controllo degli artefatti da elettrodo, movimento e rete.
Per i dispositivi di stimolazione, come neurostimolazione, pacemaker e defibrillatori, il modello aiuta a stimare soglie, durata dell’impulso, carica trasferita e risposta della membrana.
9. Limiti del modello
Il circuito equivalente è una semplificazione. Può non descrivere adeguatamente:
- geometrie cellulari complesse;
- distribuzione spaziale dei canali;
- propagazione lungo assoni e dendriti;
- accoppiamento con metabolismo e pompe ioniche;
- variazioni di concentrazione durante stimoli intensi;
- rumore stocastico dei canali;
- effetti elettrochimici agli elettrodi;
- danno, elettroporazione o stimolazione fuori regime fisiologico.
Per cellule estese si passa a modelli distribuiti, come la teoria del cavo, in cui resistenze assiali e capacità di membrana sono distribuite lungo la geometria. Per tessuti e organi servono modelli multiscala.
Errori comuni
- Dimenticare la convenzione di segno di V_m: interno meno esterno e esterno meno interno cambiano il verso delle correnti.
- Confondere corrente capacitiva e corrente ionica: la prima carica la membrana, la seconda attraversa canali.
- Trattare E_i come una batteria arbitraria: è un potenziale di equilibrio determinato da gradienti ionici e temperatura.
- Confondere conduttanza e permeabilità: g_i e P_i appartengono a modelli collegati ma diversi.
- Applicare Nernst a più ioni insieme: Nernst vale per un singolo ione; per più specie si usa Goldman o un modello circuitale multiramo.
- Ignorare la costante di tempo: capacità e resistenza determinano quanto rapidamente la membrana risponde.
- Pensare che il modello passivo generi da solo un potenziale d’azione: servono conduttanze attive dipendenti da tensione e tempo.
- Trasferire direttamente il modello di cellula singola al segnale superficiale: ECG, EEG ed EMG sono segnali aggregati e filtrati da tessuti, geometria ed elettrodi.
Vedi anche: bioelettricità, potenziale di membrana, equazione di Nernst, equazione di Goldman, permeabilità di membrana, potenziale d’azione, capacità elettrica, costante di tempo, biosegnale, neurostimolazione, formulario di Bioelettricità e Biosegnali e bioelettricità: potenziale di membrana e Nernst, esercizi svolti.