La costante di tempo è la scala temporale caratteristica con cui un sistema del primo ordine si avvicina al nuovo regime dopo una perturbazione. Indica quanto rapidamente decade la parte transitoria della risposta: più grande è \tau, più lento è il sistema.
Nel caso lineare elementare la risposta ha forma esponenziale:
Dopo un tempo pari a \tau, la parte transitoria residua vale e^{-1}\approx0{,}368 del valore iniziale. In una risposta crescente il sistema ha quindi compiuto circa il 63{,}2\% della variazione totale.
Significato operativo
La costante di tempo non è il tempo esatto in cui il transitorio finisce. È una scala: dopo ogni intervallo \tau l’errore rispetto al regime finale viene moltiplicato per e^{-1}. Per questo negli esercizi introduttivi si dice spesso che dopo circa 5\tau il transitorio è praticamente esaurito.
| Tempo | Parte residua \displaystyle e^{-t/\tau} | Variazione compiuta |
|---|---|---|
| \displaystyle t=\tau | \displaystyle 36{,}8\% | \displaystyle 63{,}2\% |
| \displaystyle t=2\tau | \displaystyle 13{,}5\% | \displaystyle 86{,}5\% |
| \displaystyle t=3\tau | \displaystyle 5{,}0\% | \displaystyle 95{,}0\% |
| \displaystyle t=5\tau | \displaystyle 0{,}67\% | \displaystyle 99{,}33\% |
Il criterio dei 5\tau è una convenzione pratica, non una legge fisica. Se la tolleranza richiesta è più stretta, il tempo di assestamento deve essere calcolato imponendo direttamente il residuo ammesso.
Forme tipiche
In molti modelli ingegneristici la costante di tempo nasce dal rapporto tra una capacità di accumulo e una conduttanza di scambio, oppure dal rapporto tra inerzia e dissipazione.
| Sistema | Costante di tempo | Variabile che evolve |
|---|---|---|
| Transitorio RC | \displaystyle \tau=R_{eq}C | tensione del condensatore |
| Transitorio RL | \displaystyle \tau=\dfrac{L}{R_{eq}} | corrente dell’induttore |
| Primo ordine automatico | \displaystyle G(s)=\dfrac{K}{1+\tau s} | uscita verso il valore finale |
| Raffreddamento concentrato | \displaystyle \tau=\dfrac{\rho V c}{hA} | temperatura del corpo |
| Modello massa-smorzatore | \displaystyle \tau=\dfrac{m}{b} | velocità verso il regime |
| Membrana passiva | \displaystyle \tau=R_mC_m | potenziale di membrana |
Queste formule non sono intercambiabili: hanno la stessa struttura esponenziale, ma derivano da bilanci fisici diversi.
Polo e risposta nel tempo
Nel dominio di Laplace, un primo ordine stabile ha un polo reale negativo:
Un polo più lontano dall’origine corrisponde a una costante di tempo più piccola e quindi a un modo più rapido. Un polo vicino all’origine produce invece una risposta lenta, dominante rispetto agli altri modi del sistema.
Per una funzione di trasferimento normalizzata:
la risposta al gradino unitario è:
Il guadagno statico K stabilisce il valore finale; \tau stabilisce solo la velocità di avvicinamento.
Misura sperimentale
Per stimare \tau da una risposta crescente si può misurare il tempo in cui la grandezza raggiunge il 63{,}2\% del salto totale:
Per una risposta decrescente si può misurare il tempo in cui il residuo scende al 36{,}8\%:
Con dati rumorosi è meglio stimare la pendenza su scala semilogaritmica o adattare l’intera curva, perché il singolo punto al 63{,}2\% può essere sensibile a rumore, ritardo di misura e saturazioni.
Errori comuni
Gli errori più frequenti sono confondere \tau con il tempo di assestamento; usare il criterio dei 5\tau senza indicare la tolleranza; applicare una formula di un dominio a un altro senza controllare le unità; trattare un sistema con più poli come se avesse sempre una sola costante di tempo.
Nei sistemi di ordine superiore si può parlare di costante di tempo dominante solo quando un modo è molto più lento degli altri. Se i poli sono vicini, complessi o poco smorzati, la risposta non è descritta correttamente da un’unica esponenziale.
Collegamenti
Per applicazioni circuitali si vedano transitorio RC, transitorio RL e circuito RLC. Per il legame con sistemi dinamici e controllo si vedano funzione di trasferimento, polo di un sistema e stabilità di Lyapunov. In ambito biomedico, un esempio importante è il modello elettrico di membrana.