Il transitorio RL è la risposta temporale di un circuito con resistenza equivalente e induttanza dopo una commutazione, un gradino di tensione o un cambiamento delle condizioni iniziali. È un transitorio del primo ordine: l’induttore accumula energia nel campo magnetico e impedisce alla corrente di variare istantaneamente.
Nel modello lineare a parametri concentrati si riduce il circuito visto dall’induttore a una resistenza equivalente e a una sorgente equivalente. La grandezza di stato naturale è la corrente nell’induttore.
Modello del primo ordine
Per un circuito RL serie, o per il circuito equivalente di Thevenin visto dall’induttore, l’equazione differenziale è:
La costante di tempo è:
Più grande è L, più lenta è la variazione di corrente; più grande è R_{eq}, più rapido è lo smorzamento del transitorio. Dopo circa 5\tau la parte esponenziale è in genere trascurabile negli esercizi di base.
| Grandezza | Formula | Lettura operativa |
|---|---|---|
| Costante di tempo | \displaystyle \tau=\dfrac{L}{R_{eq}} | tempo caratteristico di crescita o decadimento |
| Equazione omogenea | \displaystyle L\dfrac{di_L}{dt}+R_{eq}i_L=0 | descrive la scarica naturale |
| Soluzione naturale | \displaystyle i_L(t)=I_0e^{-t/\tau} | corrente che decade senza sorgente attiva |
| Regime continuo | \displaystyle \dfrac{di_L}{dt}=0 | l’induttore ideale si comporta come un corto circuito |
Continuità della corrente
La corrente nell’induttore non può saltare:
La ragione è costitutiva:
Una variazione istantanea di corrente richiederebbe una derivata infinita, quindi una tensione impulsiva idealizzata. Nella pratica, aprire bruscamente un ramo induttivo genera sovratensioni elevate, archi sui contatti o l’intervento di dispositivi di protezione.
| Istante | Corrente nell’induttore | Tensione sull’induttore |
|---|---|---|
| Prima della commutazione | \displaystyle i_L(0^-) | dipende dal vecchio circuito |
| Subito dopo | \displaystyle i_L(0^+)=i_L(0^-) | può cambiare bruscamente |
| A regime finale | \displaystyle i_L(\infty) | \displaystyle v_L(\infty)=0 in continua |
Risposta generale
La forma più utile per calcolare il transitorio RL è:
Questa formula separa tre dati: valore iniziale, valore finale e velocità del transitorio. È spesso più robusta dell’integrazione diretta, perché evita errori di segno quando il circuito cambia configurazione.
Gradino di tensione
Per un circuito RL serie inizialmente scarico, alimentato da un gradino di tensione costante V_s a t=0, si ha:
La tensione sull’induttore decresce esponenzialmente:
All’inizio l’induttore si oppone alla crescita della corrente, quindi si comporta come un circuito aperto rispetto alla variazione. A regime continuo la corrente vale V_s/R e la tensione sull’induttore ideale si annulla.
| Tempo | Corrente | Interpretazione |
|---|---|---|
| \displaystyle t=0^+ | \displaystyle i_L(0^+)=0 | l’induttore impedisce il salto di corrente |
| \displaystyle t=\tau | \displaystyle i_L(\tau)=0{,}632\,\dfrac{V_s}{R} | è compiuto circa il 63,2% della variazione |
| \displaystyle t=3\tau | \displaystyle i_L(3\tau)\approx0{,}950\,\dfrac{V_s}{R} | transitorio quasi concluso |
| \displaystyle t=5\tau | \displaystyle i_L(5\tau)\approx0{,}993\,\dfrac{V_s}{R} | regime pratico per molti calcoli |
Scarica e spegnimento
Se una corrente iniziale I_0 circola nell’induttore e il ramo viene richiuso su una resistenza R, la corrente decade secondo:
Con la convenzione passiva sul resistore, la potenza dissipata è:
L’energia inizialmente accumulata nel campo magnetico vale:
La scarica non elimina istantaneamente l’energia: la trasferisce alla resistenza, dove viene dissipata per effetto Joule. Se il circuito viene aperto senza un percorso alternativo, l’induttore tende a mantenere la corrente generando una tensione anche molto alta; per questo si usano diodi di ricircolo, snubber o limitatori di sovratensione.
Procedura di calcolo
Per risolvere un transitorio RL conviene seguire sempre lo stesso schema.
| Passo | Formula o controllo | Scopo |
|---|---|---|
| 1. Stato iniziale | \displaystyle i_L(0^+)=i_L(0^-) | fissare la condizione iniziale corretta |
| 2. Resistenza vista | \displaystyle R_{eq} con sorgenti indipendenti spente | calcolare la costante di tempo |
| 3. Costante di tempo | \displaystyle \tau=\dfrac{L}{R_{eq}} | stabilire la scala temporale |
| 4. Regime finale | \displaystyle i_L(\infty) | determinare il valore verso cui evolve la corrente |
| 5. Risposta completa | \displaystyle i_L(t)=i_L(\infty)+\bigl[i_L(0^+)-i_L(\infty)\bigr]e^{-t/\tau} | comporre naturale e forzata |
| 6. Tensione sull’induttore | \displaystyle v_L(t)=L\dfrac{di_L}{dt} | ricavare la tensione dopo la corrente |
Errori comuni
Gli errori più frequenti sono scambiare la costante di tempo RL con quella RC, scrivendo RC al posto di L/R; imporre i_L(0^+)=0 anche quando l’induttore aveva una corrente iniziale; trattare l’induttore come corto circuito durante il transitorio invece che solo a regime continuo; dimenticare che la tensione sull’induttore può cambiare bruscamente anche se la corrente è continua.
Un altro errore operativo è aprire un circuito induttivo senza prevedere un percorso di scarica. Il problema non è solo teorico: nei relè, nei motori e negli avvolgimenti elettromagnetici la sovratensione di apertura può danneggiare contatti, semiconduttori e isolamento.
Collegamenti
Per il quadro completo dei circuiti del primo ordine si vedano il formulario di elettrotecnica, la voce induttanza e il confronto con il transitorio RC. Il circuito RLC estende il problema al secondo ordine. Per esercitarsi: transitori RL, RC e RLC e condensatori e induttori.