Stabilità di Lyapunov — ingegnerismo.it

La stabilità di Lyapunov è un metodo qualitativo per studiare la stabilità di un equilibrio senza risolvere esplicitamente le equazioni del moto. L’idea è costruire una funzione scalare simile a un’energia: se questa energia non cresce lungo le traiettorie, il sistema non si allontana dall’equilibrio; se diminuisce in modo netto, il sistema tende a tornarvi.

Il metodo è fondamentale nei sistemi non lineari, dove le soluzioni esplicite sono spesso impossibili da ottenere. È usato in controlli automatici, robotica, sistemi elettrici, meccanica, dinamica delle popolazioni e analisi di algoritmi iterativi.

Funzione candidata di Lyapunov

Per un sistema autonomo

x'=f(x)

con equilibrio $x_\ast$ , una funzione $V$ è una candidata di Lyapunov in un intorno di $x_\ast$ se

V(x_\ast)=0, \qquad V(x)>0\quad(x\ne x_\ast).

Questa condizione dice che $V$ ha un minimo stretto nell’equilibrio. In molti problemi fisici $V$ è un’energia totale, una funzione quadratica o una distanza generalizzata dall’obiettivo.

Derivata lungo le traiettorie

Lungo le traiettorie del sistema, la variazione di $V$ è

\dot V=\nabla V\cdot f.

\dot V(x)\le0

in un intorno dell’equilibrio, l’energia generalizzata non cresce. Questo consente di dimostrare stabilità. Se invece

\dot V(x)<0 \qquad (x\ne x_\ast),

si ottiene stabilità asintotica sotto ipotesi regolari: le traiettorie non solo restano vicine, ma convergono verso l’equilibrio.

Criteri locali

Una forma locale del criterio è:

Ipotesi su $V$	Ipotesi su $\dot V$	Conclusione
$V$ definita positiva	$\dot V\le0$	stabilità
$V$ definita positiva	$\dot V<0$ fuori da $x_\ast$	stabilità asintotica
$V$ definita positiva e radiale illimitata	$\dot V<0$ globalmente	stabilità asintotica globale

La proprietà “radialmente illimitata” significa che

V(x)\to+\infty \quad\text{quando}\quad \|x\|\to+\infty.

Serve per estendere una conclusione locale a tutto lo spazio, evitando che traiettorie lontane sfuggano dal dominio di validità della funzione.

Esempio quadratico

Per il sistema lineare

x'=Ax,

una scelta tipica è

V(x)=x^TPx,

con $P$ simmetrica definita positiva. La derivata lungo le traiettorie è

\dot V = x^T(A^TP+PA)x.

Se esiste $P>0$ tale che

A^TP+PA=-Q, \qquad Q>0,

allora

\dot V=-x^TQx<0 \qquad (x\ne0),

e l’origine è asintoticamente stabile. Questa è la forma classica dell’equazione di Lyapunov per sistemi lineari.

Interpretazione fisica

In meccanica, $V$ può essere energia potenziale più energia cinetica. In un sistema dissipativo l’energia totale decresce:

\dot V\le0.

Un pendolo con attrito, ad esempio, perde energia e tende verso la posizione di equilibrio stabile. Senza attrito, l’energia resta costante: il sistema può essere stabile, ma non asintoticamente stabile.

Nei controlli automatici una funzione di Lyapunov viene spesso progettata insieme al regolatore. L’obiettivo è scegliere la legge di controllo in modo che l’errore abbia una “energia” decrescente.

Stabilità e attrattività

È importante distinguere:

stabilità: le traiettorie partite vicine restano vicine;
attrattività: le traiettorie convergono all’equilibrio;
stabilità asintotica: entrambe le proprietà insieme.

Una funzione di Lyapunov ben costruita permette spesso di dimostrare entrambe. Tuttavia, quando $\dot V\le0$ ma non è strettamente negativa, può servire il principio di invarianza di LaSalle per capire verso quale insieme limite convergono le traiettorie.

Errori comuni

pensare che una candidata $V$ positiva basti da sola: conta anche il segno di $\dot V$ ;
concludere stabilità asintotica da $\dot V\le0$ senza ulteriori argomenti;
usare una funzione valida solo localmente per affermare stabilità globale;
dimenticare che trovare una funzione di Lyapunov è spesso la parte difficile del problema;
confondere la funzione di Lyapunov con l’energia fisica reale: può essere anche una funzione artificiale ma utile.

Vedi anche: Stabilità degli equilibri, Norma euclidea, Formulario di EDO e Analisi Numerica, Stabilità degli equilibri per EDO autonome.