La stabilità degli equilibri studia che cosa accade alle traiettorie di un sistema dinamico quando partono vicino a uno stato stazionario. Un equilibrio non è soltanto un punto in cui il sistema si ferma: è un punto attorno al quale si decide se piccole perturbazioni restano piccole, si smorzano o crescono.
Il concetto è centrale in meccanica, controlli automatici, circuiti, dinamica delle popolazioni, chimica dei reattori, modelli epidemiologici e sistemi non lineari. In pratica risponde alla domanda: se il sistema viene disturbato poco, torna verso l’equilibrio o se ne allontana?
Equilibrio di un sistema autonomo
Per un’equazione differenziale autonoma
un punto y_\ast è un equilibrio se
La soluzione costante
soddisfa l’equazione per ogni t. Lo studio della stabilità riguarda invece le soluzioni con condizione iniziale y(0) vicina, ma non necessariamente uguale, a y_\ast.
Classi principali di stabilità
Un equilibrio è stabile nel senso di Lyapunov se ogni traiettoria che parte abbastanza vicino resta vicina per tutti i tempi futuri. È asintoticamente stabile se, oltre a restare vicina, converge all’equilibrio:
È instabile se esistono perturbazioni arbitrariamente piccole che portano la traiettoria fuori da un intorno prefissato dell’equilibrio.
| Tipo | Comportamento vicino all’equilibrio | Interpretazione |
|---|---|---|
| stabile | le traiettorie restano vicine | il disturbo non cresce oltre soglia |
| asintoticamente stabile | le traiettorie tornano all’equilibrio | il disturbo si smorza |
| instabile | alcune traiettorie si allontanano | il disturbo viene amplificato |
La stabilità asintotica implica stabilità, ma non viceversa. Un centro lineare, ad esempio, può essere stabile perché le orbite restano limitate, ma non asintoticamente stabile perché non convergono al punto.
Caso scalare
Per un’EDO autonoma scalare y'=f(y), se f(y_\ast)=0 e f è derivabile, la linearizzazione fornisce il criterio locale:
Se f'(y_\ast)=0, la linearizzazione non decide e bisogna guardare termini superiori o il segno di f a destra e a sinistra dell’equilibrio. In una dimensione è spesso sufficiente costruire la linea di fase: dove f(y)>0 le soluzioni crescono, dove f(y)<0 decrescono.
Linearizzazione in più dimensioni
Per un sistema
con equilibrio x_\ast, la linearizzazione è
dove J_f(x_\ast) è la matrice jacobiana. Gli autovalori della jacobiana determinano il comportamento locale quando nessuno ha parte reale nulla:
| Autovalori della jacobiana | Esito locale |
|---|---|
| tutte le parti reali negative | equilibrio asintoticamente stabile |
| almeno una parte reale positiva | equilibrio instabile |
| parti reali negative e positive | punto sella instabile |
| almeno una parte reale nulla e nessuna positiva | linearizzazione non conclusiva |
Quando compaiono autovalori con parte reale nulla, servono strumenti non lineari: funzioni di Lyapunov, varietà centrali, termini di ordine superiore o analisi qualitativa specifica.
Esempio logistico
gli equilibri sono
Derivando
Quindi
L’equilibrio 0 è instabile, mentre K è asintoticamente stabile: piccole popolazioni positive crescono, ma la crescita si arresta verso la capacità portante.
Uso ingegneristico
Nei controlli automatici la stabilità è il requisito minimo di un sistema retroazionato: un regolatore che riduce l’errore nominale ma rende instabile il sistema non è accettabile. Nei circuiti e nei sistemi meccanici, stabilità significa che oscillazioni o perturbazioni non crescono senza controllo. Nei modelli numerici, la stabilità degli equilibri influenza anche la scelta del passo e del metodo di integrazione.
Errori comuni
- confondere equilibrio con stabilità: un punto può essere equilibrio e comunque instabile;
- dedurre stabilità globale da un criterio locale;
- applicare la linearizzazione quando gli autovalori critici hanno parte reale nulla;
- ignorare il dominio fisicamente ammissibile, ad esempio popolazioni negative in modelli biologici;
- confondere stabilità asintotica con semplice limitatezza delle traiettorie.
Vedi anche: Stabilità di Lyapunov, Modello logistico, Lotka-Volterra, Sistemi lineari di EDO e autovalori, Stabilità degli equilibri per EDO autonome.