Modello logistico — ingegnerismo.it

Il modello logistico descrive una crescita inizialmente quasi esponenziale che rallenta quando la quantità osservata si avvicina a un limite massimo sostenibile. È uno dei modelli elementari di saturazione: la crescita non può proseguire indefinitamente, perché risorse, spazio, domanda o capacità del sistema diventano limitanti.

Nasce nella dinamica delle popolazioni, ma viene usato anche per diffusione di tecnologie, crescita di mercati, modelli epidemici semplificati, processi di apprendimento, affidabilità e sistemi con capacità finita.

Equazione differenziale

La forma continua classica è

y'=ry\left(1-\dfrac{y}{K}\right), \qquad r>0,\ K>0.

Dove:

Simbolo	Significato
$y(t)$	popolazione, quantità o livello del processo al tempo $t$
$r$	tasso intrinseco di crescita
$K$	capacità portante, cioè valore limite sostenibile
$1-y/K$	fattore di saturazione

Per $y\ll K$ , il termine $1-y/K$ è circa $1$ e il modello assomiglia a una crescita esponenziale. Quando $y$ si avvicina a $K$ , il fattore di saturazione tende a zero e la crescita rallenta.

Soluzione esplicita

Con condizione iniziale $y(0)=y_0>0$ , la soluzione è

y(t)= \dfrac{K}{1+A e^{-rt}}, \qquad A=\dfrac{K-y_0}{y_0}.

Se $0<y_0<K$ , la traiettoria cresce monotonamente verso $K$ . Se $y_0>K$ , decresce verso $K$ . Il valore $K$ è quindi un attrattore per tutte le condizioni iniziali positive diverse da zero.

Equilibri e stabilità

Gli equilibri sono ottenuti ponendo $y'=0$ :

ry\left(1-\dfrac{y}{K}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad y_\ast=0,\ K.

La derivata del campo è

f'(y)=r-\dfrac{2r}{K}y.

Quindi

f'(0)=r>0, \qquad f'(K)=-r<0.

Per $r>0$ , l’equilibrio $0$ è instabile e $K$ è asintoticamente stabile. Questo è un esempio semplice di stabilità degli equilibri in un sistema scalare.

Punto di flesso

La crescita è massima quando la popolazione vale metà della capacità portante:

y=\dfrac{K}{2}.

Infatti il termine $y(1-y/K)$ è una parabola concava con massimo in $K/2$ . La curva logistica ha quindi forma a S: accelerazione iniziale, crescita massima a metà capacità, poi rallentamento progressivo.

Forma discreta e attenzione al caos

Esiste anche una mappa logistica discreta:

x_{n+1}=R x_n(1-x_n).

Non va confusa con l’equazione differenziale continua. La versione discreta, al variare di $R$ , può mostrare biforcazioni e comportamento caotico. La versione continua classica, invece, converge regolarmente all’equilibrio $K$ per condizioni iniziali positive.

Uso operativo

Il modello logistico è adatto quando:

la crescita iniziale è proporzionale alla quantità presente;
esiste un limite superiore interpretabile;
il rallentamento aumenta con l’avvicinarsi al limite;
non servono oscillazioni, ritardi o interazioni tra più popolazioni.

Non è adatto se il sistema ha soglie minime, stagionalità, ritardi temporali, migrazioni, shock esterni o interazioni predatorie. In questi casi servono estensioni o modelli diversi, come sistemi accoppiati alla Lotka-Volterra.

Errori comuni

interpretare $K$ come un massimo rigido mai superabile: nel modello continuo può essere superato come condizione iniziale, ma la dinamica riporta verso $K$ ;
usare il modello per dati con oscillazioni marcate o ritardi senza modificarlo;
confondere il parametro $r$ con il tasso osservato in ogni istante, che invece è $r(1-y/K)$ ;
applicare la mappa logistica discreta e l’equazione logistica continua come se avessero la stessa dinamica;
stimare $K$ da pochi dati iniziali, quando la saturazione non è ancora visibile.

Vedi anche: Stabilità degli equilibri, Lotka-Volterra, Modelli di popolazioni, Formulario di EDO e Analisi Numerica.