I modelli di dinamica delle popolazioni usano equazioni differenziali per descrivere l’evoluzione temporale di una o più specie biologiche.
Modello di Malthus (crescita esponenziale)
\dot{N} = rN \implies N(t) = N_0 e^{rt}
Descrive una popolazione con tasso di crescita costante r. Per r > 0 la popolazione cresce indefinitamente; per r < 0 si estingue. Non tiene conto delle risorse limitate.
Modello Logistico di Verhulst
\dot{N} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)
La capacità portante K limita la crescita. La soluzione esplicita è: N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}
Per N_0 < K la popolazione cresce con andamento sigmoide verso K; per N_0 > K decresce verso K.
Modello di Lotka-Volterra (predatore-preda)
Sistema di due EDO accoppiate: \begin{cases} \dot{x} = \alpha x - \beta xy \\ \dot{y} = \delta xy - \gamma y \end{cases}
con x = prede, y = predatori, \alpha, \beta, \delta, \gamma > 0. Le soluzioni sono orbite chiuse nel piano delle fasi attorno all’equilibrio non banale (x^*, y^*) = (\gamma/\delta,\, \alpha/\beta): le due popolazioni oscillano in modo sfasato.
Conservazione di Lotka-Volterra
Il sistema conserva la quantità: V(x,y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y = \text{cost.}
che è un integrale primo del moto (analogo dell’energia conservata).