Modelli di Dinamica delle Popolazioni

Voci di Glossario Analisi Matematica
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    I modelli di dinamica delle popolazioni usano equazioni differenziali per descrivere l’evoluzione temporale di una o più specie biologiche.

    Modello di Malthus (crescita esponenziale)

    N˙=rN  ⟹  N(t)=N0ert\dot{N} = rN \implies N(t) = N_0 e^{rt}

    Descrive una popolazione con tasso di crescita costante rr. Per r>0r > 0 la popolazione cresce indefinitamente; per r<0r < 0 si estingue. Non tiene conto delle risorse limitate.

    Modello Logistico di Verhulst

    N˙=rN(1−NK)\dot{N} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)

    La capacità portante KK limita la crescita. La soluzione esplicita è: N(t)=K1+(KN0−1)e−rtN(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}

    Per N0<KN_0 < K la popolazione cresce con andamento sigmoide verso KK; per N0>KN_0 > K decresce verso KK.

    Modello di Lotka-Volterra (predatore-preda)

    Sistema di due EDO accoppiate: {x˙=αx−βxyy˙=δxy−γy\begin{cases} \dot{x} = \alpha x - \beta xy \\ \dot{y} = \delta xy - \gamma y \end{cases}

    con xx = prede, yy = predatori, α,β,δ,γ>0\alpha, \beta, \delta, \gamma > 0. Le soluzioni sono orbite chiuse nel piano delle fasi attorno all’equilibrio non banale (x∗,y∗)=(γ/δ, α/β)(x^*, y^*) = (\gamma/\delta,\, \alpha/\beta): le due popolazioni oscillano in modo sfasato.

    Conservazione di Lotka-Volterra

    Il sistema conserva la quantità: V(x,y)=δx−γln⁡x+βy−αln⁡y=cost.V(x,y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y = \text{cost.}

    che è un integrale primo del moto (analogo dell’energia conservata).

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