Il polo di un sistema è una radice del denominatore della funzione di trasferimento. Nei sistemi lineari tempo-invarianti descrive un modo naturale della risposta: stabilisce se il contributo libero decade, cresce oppure oscilla.
Per una funzione razionale:
i poli sono i valori p_k tali che:
Il termine polo qui è usato nel senso dei sistemi dinamici e dei segnali. È collegato alla nozione di singolarità in analisi complessa, ma nella pratica ingegneristica interessa soprattutto per stabilità, transitori e risposta in frequenza.
Lettura nel piano complesso
Un polo p=\sigma+j\omega ha due informazioni operative:
- la parte reale \sigma determina crescita o decadimento;
- la parte immaginaria \omega determina l’oscillazione.
Il contributo temporale associato a un polo semplice è proporzionale a:
Se \sigma<0, il modo decade; se \sigma>0, cresce; se \sigma=0, non decade e produce una condizione marginale che richiede cautela.
| Posizione del polo | Termine temporale | Lettura dinamica |
|---|---|---|
| \displaystyle p=-a,\ a>0 | \displaystyle e^{-at} | decadimento esponenziale stabile |
| \displaystyle p=+a,\ a>0 | \displaystyle e^{at} | crescita instabile |
| \displaystyle p=-\sigma\pm j\omega_d | \displaystyle e^{-\sigma t}\cos(\omega_d t) | oscillazione smorzata |
| \displaystyle p=\pm j\omega | \displaystyle \cos(\omega t) | oscillazione non smorzata nel modello ideale |
Polo e costante di tempo
Per un primo ordine stabile:
il denominatore si annulla in:
La costante di tempo è quindi l’inverso del modulo della parte reale del polo:
Un polo più vicino all’origine produce un transitorio più lento; un polo più lontano a sinistra produce un modo più rapido.
Poli dominanti
In un sistema con più poli, la risposta è una combinazione di modi. I poli più vicini all’asse immaginario decadono più lentamente e tendono a dominare il transitorio.
| Situazione | Effetto sulla risposta |
|---|---|
| Poli reali ben separati | domina il polo più vicino all’origine |
| Poli complessi coniugati | risposta oscillatoria con inviluppo esponenziale |
| Poli nel semipiano destro | instabilità asintotica |
| Poli multipli | compaiono termini del tipo \displaystyle t^m e^{pt} |
| Zeri vicini ai poli | possibili cancellazioni, da valutare con cautela |
La dominanza non dipende solo dalla posizione dei poli: contano anche residui, zeri, ingresso e condizioni iniziali. Una cancellazione polo-zero può nascondere un modo nella funzione di trasferimento ingresso-uscita, ma non sempre lo elimina dalla dinamica interna.
Stabilità
Per un sistema continuo lineare e tempo-invariante, la stabilità asintotica richiede che tutti i poli del modello dinamico abbiano parte reale negativa:
Questa condizione è la base di molte tecniche di analisi e progetto: luogo delle radici, criteri algebrici, diagrammi di risposta in frequenza e sintesi dei regolatori.
Nei sistemi discreti il criterio cambia: i poli devono stare all’interno del cerchio unitario del piano z, non nel semipiano sinistro del piano s.
Errori comuni
Gli errori più frequenti sono confondere poli e zeri; giudicare la stabilità guardando solo il numeratore; associare sempre un polo complesso a instabilità; usare la costante di tempo di un primo ordine quando la risposta reale è dominata da una coppia complessa o da più poli vicini.
Un altro errore è considerare innocua una cancellazione polo-zero esatta. Nei sistemi fisici le cancellazioni perfette sono fragili: tolleranze, dinamiche non modellate e saturazioni possono rendere visibile un modo che il modello nominale sembrava eliminare.
Collegamenti
Per il modello ingresso-uscita si veda funzione di trasferimento. Per esempi circuitali di poli reali si vedano transitorio RC e transitorio RL. Per il legame tra polo reale e rapidità della risposta si veda costante di tempo.