Un treno di ingranaggi è una successione di ruote dentate che trasmette moto e potenza tra alberi. È usato quando una sola coppia di ingranaggi non basta per ottenere il rapporto desiderato, quando occorre cambiare il verso di rotazione, collegare assi distanti, distribuire la riduzione su più stadi o realizzare una catena cinematica compatta e controllabile.
La grandezza centrale è il rapporto di trasmissione, cioè il legame tra velocità angolare di ingresso e velocità angolare di uscita. Un treno di ingranaggi non crea energia: scambia velocità con coppia, con perdite dovute a attrito, lubrificazione, deformazioni, strisciamenti e agitazione dell’olio. Per questo va sempre letto insieme a rendimento, carico, ingombro e resistenza dei denti.
Rapporto di una coppia di ruote dentate
Per due ruote dentate esterne, con ruota 1 motrice e ruota 2 condotta, il rapporto orientato è:
dove \omega_1 e \omega_2 sono le velocità angolari e z_1, z_2 i numeri di denti. Il segno meno indica che due ruote esterne ruotano in verso opposto. Se interessa solo il modulo:
Una ruota condotta con più denti gira più lentamente ma riceve, idealmente, più coppia. Questa è la logica del riduttore: abbassare la velocità di uscita per adattare un motore veloce a un carico lento e resistente.
Per ruote interne, come un pignone che ingrana con una corona dentata internamente, il verso relativo può essere concorde. Il segno del rapporto dipende quindi dal tipo di ingranamento: esterno-esterno, interno-esterno o catena più complessa.
Treni ordinari a stadi fissi
In un treno ordinario gli assi delle ruote sono fissi rispetto al telaio. Se si adottano rapporti elementari coerenti, il rapporto complessivo è il prodotto dei rapporti dei singoli stadi:
Se due ruote sono solidali sullo stesso albero, hanno la stessa velocità angolare:
Questa proprietà permette di comporre più stadi: una ruota grande può essere condotta da un pignone e, sullo stesso albero, un secondo pignone può comandare una ruota successiva. Il rapporto si ottiene moltiplicando i rapporti delle coppie effettivamente attraversate dalla potenza.
Per un treno composto a due stadi, con ruote 1-2 nel primo ingranamento e 3-4 nel secondo, con 2 e 3 solidali sullo stesso albero, in modulo:
Questa configurazione consente riduzioni elevate senza usare una ruota enorme. Per esempio, due stadi da 1:5 producono una riduzione complessiva da 1:25, con diametri più gestibili e carichi distribuiti.
Ruote oziose
Una ruota oziosa è una ruota inserita tra motrice e condotta senza essere solidale a un altro ingranaggio utile. In un treno semplice, una ruota oziosa cambia il verso di rotazione ma non cambia il modulo del rapporto complessivo.
Per tre ruote esterne 1-2-3:
Moltiplicando:
Il numero di denti della ruota oziosa z_2 si semplifica. La sua funzione è geometrica e cinematica: trasferire il moto a distanza, invertire o non invertire il verso finale, aggirare ingombri, migliorare layout e interassi. Non serve, da sola, a ottenere una riduzione maggiore.
Coppia, potenza e rendimento
La potenza meccanica su un albero rotante è:
dove C è la coppia motrice o resistente e \omega la velocità angolare. In una trasmissione ideale:
Se si usa \tau=\omega_u/\omega_i, la coppia ideale in uscita vale:
In una trasmissione reale bisogna includere il rendimento totale:
Se \tau è un rapporto orientato con segno, il segno descrive il verso relativo di rotazione; per dimensionare coppie, alberi e denti si lavora spesso sui moduli e poi si assegna il verso meccanico con il diagramma cinematico.
Un treno multi-stadio può quindi aumentare la coppia disponibile, ma non gratuitamente: ogni stadio introduce perdite, giochi, elasticità torsionale, rumorosità e requisiti di lubrificazione. Molti stadi piccoli possono essere più compatti di uno stadio enorme, ma peggiorare rendimento, costo e manutenzione.
Geometria, modulo e interasse
Per ruote cilindriche a denti dritti o elicoidali, il modulo collega diametro primitivo e numero di denti:
Due ruote devono avere lo stesso modulo e lo stesso angolo di pressione per ingranare correttamente. L’interasse tra due ruote esterne è:
Queste relazioni mostrano perché il rapporto di trasmissione non può essere scelto ignorando gli ingombri. Aumentare molto il numero di denti della ruota condotta aumenta diametro, interasse, massa e inerzia. Dividere la riduzione in più stadi permette di controllare meglio dimensioni e velocità periferiche.
Nel progetto reale entrano anche larghezza di fascia, materiale, trattamento termico, lubrificazione, velocità periferica, rapporto di ricoprimento, correzione di profilo, gioco, rigidezza degli alberi e precisione dei cuscinetti. Un rapporto cinematicamente corretto può comunque fallire per pitting, usura, rottura a flessione del dente, surriscaldamento o vibrazioni torsionali.
Treni ordinari ed epicicloidali
Un treno ordinario ha assi fissi. Quando uno o più assi sono trasportati da un braccio mobile, detto portatreno, il sistema diventa un rotismo epicicloidale. La differenza non è solo geometrica: cambia il modo di calcolare le velocità.
Nel treno ordinario si moltiplicano direttamente i rapporti tra ruote. Nel rotismo epicicloidale bisogna ragionare sulle velocità relative al portatreno, usando la formula di Willis:
Qui \omega_p è la velocità del portatreno e \tau_0 è il rapporto del treno equivalente con portatreno bloccato. Applicare a un epicicloidale le regole dei treni ordinari è uno degli errori più gravi: porta a rapporti sbagliati e spesso anche a versi di rotazione errati.
Applicazioni
I treni di ingranaggi compaiono in riduttori industriali, cambi automobilistici, macchine utensili, robotica, attuatori, orologi meccanici, turbine, trasmissioni ausiliarie e dispositivi di precisione. La loro funzione può essere diversa a seconda dell’applicazione:
| Obiettivo | Scelta progettuale tipica |
|---|---|
| riduzione elevata | più stadi composti |
| inversione del verso | ruota oziosa o numero opportuno di ingranamenti esterni |
| assi distanti | ruote intermedie o alberi intermedi |
| compattezza coassiale | rotismo epicicloidale |
| precisione di posizione | controllo di gioco, rigidezza e backlash |
| alta coppia | denti più robusti, maggiore fascia, materiali trattati |
Nei servosistemi il treno influenza anche l’inerzia apparente vista dal motore. Una riduzione può rendere più facile accelerare il carico lato motore, ma introduce gioco, elasticità e risonanze che il controllo deve gestire.
Errori comuni
Il primo errore è confondere il rapporto \tau=\omega_u/\omega_i con il rapporto di riduzione i=\omega_i/\omega_u. Una “riduzione 20:1” di solito significa i=20, quindi \tau=0{,}05.
Il secondo errore è attribuire alle ruote oziose una variazione del modulo del rapporto. Una ruota oziosa modifica il verso e la disposizione degli assi; il rapporto in modulo dipende dalle ruote iniziale e finale, salvo che l’oziosa sia solidale a un’altra ruota e diventi parte di uno stadio composto.
Il terzo errore è ignorare rendimento e carichi reali. Una catena lunga può raggiungere il rapporto richiesto ma dissipare troppa potenza, scaldare, fare rumore o superare la resistenza dei denti.
Il quarto errore è calcolare un epicicloidale come se fosse un treno ordinario. Appena un asse si muove con il portatreno, bisogna passare alle velocità relative e alla formula di Willis.