La formula di Willis è la relazione cinematica fondamentale per i rotismi epicicloidali. Poiché il portatreno è mobile, le velocità delle ruote non vanno confrontate direttamente nel riferimento fisso: si lavora con le velocità relative al portatreno.
dove \omega_1 e \omega_2 sono le velocità angolari di due membri dentati, \omega_p è la velocità del portatreno e \tau_0 è il rapporto di trasmissione che si avrebbe bloccando il portatreno.
Idea cinematica
Sottraendo \omega_p a tutte le velocità si passa a un riferimento solidale al portatreno. In quel riferimento gli assi dei satelliti risultano fermi e il rotismo epicicloidale diventa equivalente a un treno di ingranaggi ordinario. Il rapporto calcolato in questo riferimento è proprio \tau_0.
| Grandezza | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Velocità relativa del membro 1 | \displaystyle \omega_1-\omega_p | Velocità vista dal portatreno. |
| Velocità relativa del membro 2 | \displaystyle \omega_2-\omega_p | Velocità vista dallo stesso riferimento mobile. |
| Rapporto a portatreno bloccato | \displaystyle \tau_0 | Rapporto del treno equivalente ordinario. |
| Formula di Willis | \displaystyle \tau_0=\dfrac{\omega_1-\omega_p}{\omega_2-\omega_p} | Relazione tra velocità assolute e relative. |
Esempio: solare, corona e portatreno
In un rotismo epicicloidale semplice con ruota solare s, corona interna c e portatreno p, con numeri di denti z_s e z_c, il rapporto a portatreno bloccato è:
Se la corona è bloccata, cioè \omega_c=0, allora:
Con z_s=30 e z_c=90 si ottiene:
quindi:
Il portatreno gira nello stesso verso del solare, ma a velocità quattro volte minore.
Procedura operativa
- Fissare un verso positivo comune per tutte le velocità angolari.
- Identificare i tre membri rilevanti: ingresso, uscita e portatreno.
- Calcolare \tau_0 bloccando idealmente il portatreno.
- Inserire nella formula le velocità note e risolvere per quella incognita.
La formula è sensibile ai segni: un ingranamento esterno cambia verso di rotazione, mentre un ingranamento interno lo mantiene rispetto alla coppia di ruote considerate. L’errore più frequente è usare il rapporto dei denti senza portare prima tutte le velocità nel riferimento del portatreno.
Vedi anche: rotismo epicicloidale, treno di ingranaggi, ingranaggio, rapporto di trasmissione, ingranaggi e rotismi: esercizi svolti.