Il rapporto di trasmissione lega la velocità angolare del membro movente a quella del membro cedente. Con la convenzione uscita su ingresso:
dove \omega_i è la velocità di ingresso e \omega_u quella di uscita. Se \tau<1 la trasmissione riduce la velocità; se \tau>1 la moltiplica. Il caso più frequente nelle macchine è la riduzione, perché molti motori girano veloci mentre i carichi richiedono coppia a basso regime.
Convenzioni
La prima fonte di errore è la convenzione: in molti manuali il rapporto di riduzione è indicato con i=\omega_i/\omega_u, cioè l’inverso di \tau.
| Convenzione | Formula | Interpretazione |
|---|---|---|
| Uscita su ingresso | \displaystyle \tau=\dfrac{\omega_u}{\omega_i} | \displaystyle \tau<1 indica riduzione di velocità. |
| Ingresso su uscita | \displaystyle i=\dfrac{\omega_i}{\omega_u}=\dfrac{1}{\tau} | \displaystyle i>1 indica riduzione di velocità. |
| Rapporto orientato | \displaystyle \tau=\dfrac{\omega_u}{\omega_i} con segno | Il segno indica il verso relativo di rotazione. |
| Rapporto in modulo | \displaystyle \lvert\tau\rvert | Si usa quando interessa solo la grandezza della riduzione. |
Potenza, coppia e rendimento
In una trasmissione ideale la potenza si conserva:
perciò la coppia varia in modo inverso alla velocità. In una trasmissione reale entra il rendimento \eta:
Con la convenzione \tau=\omega_u/\omega_i:
Il rapporto di trasmissione è quindi uno strumento di adattamento: non crea energia, ma scambia velocità con coppia, pagando sempre perdite reali.
| Caso | Velocità | Coppia ideale | Uso tipico |
|---|---|---|---|
| Riduttore | \displaystyle 0<\tau<1 | \displaystyle C_u=\dfrac{C_i}{\tau} | Motore veloce, carico lento e resistente. |
| Moltiplicatore | \displaystyle \tau>1 | \displaystyle C_u=\dfrac{C_i}{\tau} | Carico veloce con coppia ridotta. |
| Trasmissione reale | \displaystyle \tau>0,\ \eta<1 | \displaystyle C_u=\eta\dfrac{C_i}{\tau} | Perdite per attrito, lubrificazione, flessione e ingranamento. |
Ingranaggi
Per due ruote dentate esterne il rapporto orientato include un cambio di verso:
dove z_1 e z_2 sono i numeri di denti. Se interessa solo il modulo:
Più denti sulla ruota condotta significano velocità minore e coppia maggiore. Una ruota oziosa cambia il verso di rotazione, ma non cambia il modulo del rapporto se non è solidale con un’altra ruota.
Treni e stadi in serie
In un treno di ingranaggi ordinario il rapporto totale è il prodotto dei rapporti elementari:
Il rendimento totale, se gli stadi sono in serie, si moltiplica allo stesso modo:
| Configurazione | Rapporto totale | Nota |
|---|---|---|
| Uno stadio | \displaystyle \tau_{\mathrm{tot}}=\tau_1 | Semplice, compatto, ma rapporto limitato. |
| Più stadi | \displaystyle \tau_{\mathrm{tot}}=\prod_k\tau_k | Permette riduzioni elevate con ruote di dimensioni ragionevoli. |
| Ruota oziosa | \displaystyle \lvert\tau\rvert\ \text{invariato} | Cambia il verso, non la riduzione in modulo. |
| Rotismo epicicloidale | \displaystyle \dfrac{\omega_1-\omega_p}{\omega_2-\omega_p} | Richiede la formula di Willis. |
Inerzia equivalente
Il rapporto di trasmissione cambia anche l’inerzia apparente vista dal motore. Se un carico con inerzia J_u è collegato all’uscita e \omega_u=\tau\omega_i, la sua inerzia riferita all’ingresso è:
Quindi una riduzione forte non aumenta solo la coppia disponibile: riduce anche l’inerzia riflessa sul lato veloce, aspetto cruciale nei servosistemi e negli azionamenti.
Errori comuni
Il primo errore è mescolare i e \tau senza dichiarare la convenzione. Dire “riduzione 10:1” di solito significa i=10 e quindi \tau=0{,}1.
Il secondo errore è dimenticare il rendimento: la coppia reale in uscita non è C_i/\tau, ma \eta C_i/\tau.
Il terzo è trattare tutti i meccanismi come ingranaggi: in un quadrilatero articolato il rapporto di trasmissione può variare con la configurazione, mentre negli ingranaggi a profilo coniugato resta costante.
Approfondimenti: Formulario di Meccanica Applicata, ingranaggio, treno di ingranaggi, rotismo epicicloidale, rendimento, esercizi su ingranaggi e rotismi.