Gli ingranaggi trasmettono moto rotatorio con rapporto di velocità costante, fissato dal numero di denti. Combinandoli in rotismi si ottengono riduzioni elevate e cambi di rapporto. Questa scheda allena il rapporto di trasmissione, il dimensionamento e i rotismi epicicloidali con la formula di Willis.
Rapporto fondamentale: per due ruote in presa, \;\dfrac{\omega_1}{\omega_2}=\dfrac{z_2}{z_1}\; (inverso dei denti).
1. Rapporto di trasmissione di una coppia
Esercizio. Una ruota motrice con z_1=20 denti ingrana una condotta con z_2=60 denti. La motrice gira a n_1=1500\ \text{giri/min}. Calcolare la velocità della condotta.
Il rapporto di trasmissione è l’inverso del rapporto dei denti:
\tau=\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ n_2=\tau\,n_1=\dfrac{1500}{3}=500\ \text{giri/min}.
La ruota più grande gira più lenta: è una riduzione 3:1. Le velocità sono inversamente proporzionali ai denti.
2. Modulo e interasse
Esercizio. Due ruote con z_1=20 e z_2=60 denti, modulo m=2{,}5\ \text{mm}. Calcolare i diametri primitivi e l’interasse.
Il diametro primitivo è d=m\,z:
d_1=m z_1=2{,}5\times20=50\ \text{mm},\qquad d_2=2{,}5\times60=150\ \text{mm}.
Interasse (somma dei raggi primitivi):
i=\dfrac{d_1+d_2}{2}=\dfrac{50+150}{2}=100\ \text{mm}.
Il modulo m è il parametro di proporzionamento: ruote in presa devono avere lo stesso modulo, altrimenti i denti non ingranano.
3. Rotismo ordinario a due stadi
Esercizio. Un riduttore a due stadi: primo stadio z_1=18, z_2=54; secondo stadio z_3=20, z_4=80. Calcolare il rapporto totale.
Il rapporto totale è il prodotto dei rapporti dei singoli stadi:
\tau_{tot}=\dfrac{z_1}{z_2}\times\dfrac{z_3}{z_4}=\dfrac{18}{54}\times\dfrac{20}{80}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}.
Il rotismo riduce 12:1. Lo sdoppiamento in stadi permette riduzioni elevate con ruote di dimensioni ragionevoli.
4. Coppia trasmessa e riduzione
Esercizio. Il riduttore del punto 3 (\tau_{tot}=1/12) riceve in ingresso una coppia T_1=10\ \text{N·m}. Calcolare la coppia in uscita (rendimento ideale).
A potenza costante, la coppia cresce nello stesso rapporto in cui cala la velocità:
T_4=\dfrac{T_1}{\tau_{tot}}=10\times12=120\ \text{N·m}.
Una riduzione 12:1 moltiplica la coppia per 12 (e divide la velocità per 12). È il principio di tutti i riduttori: scambiare velocità con coppia.
5. Rendimento di un riduttore
Esercizio. Il riduttore precedente ha rendimento \eta=0{,}92. Calcolare la coppia reale in uscita.
Il rendimento riduce la coppia utile per le perdite (attrito, ingranamento):
T_{4,reale}=\eta\,\dfrac{T_1}{\tau_{tot}}=0{,}92\times120=110{,}4\ \text{N·m}.
Le perdite si traducono in calore e in coppia mancante all’uscita. Negli stadi in serie i rendimenti si moltiplicano: tanti stadi penalizzano il rendimento complessivo.
6. Rotismo epicicloidale (formula di Willis)
Esercizio. Un rotismo epicicloidale ha solare z_s=30 e corona z_c=90. Bloccando la corona (\omega_c=0), calcolare il rapporto tra solare e portatreno.
La formula di Willis lega le velocità nel riferimento del portatreno (\omega_p):
\dfrac{\omega_s-\omega_p}{\omega_c-\omega_p}=-\dfrac{z_c}{z_s}.
Con \omega_c=0:
\dfrac{\omega_s-\omega_p}{-\omega_p}=-\dfrac{90}{30}=-3\ \Rightarrow\ \omega_s-\omega_p=3\omega_p\ \Rightarrow\ \omega_s=4\omega_p.
Il portatreno gira a 1/4 del solare: riduzione 4:1 con un solo gruppo epicicloidale. I rotismi epicicloidali, scegliendo quale membro bloccare, danno rapporti diversi nello stesso ingombro (cambi automatici, riduttori compatti).
7. Ruota oziosa e verso di rotazione
Esercizio. Una motrice con z_1=20 denti ingrana con una ruota oziosa da z_2=30, che ingrana con una condotta da z_3=60. Se n_1=1500\ \text{giri/min}, calcolare n_3 e il verso rispetto alla motrice.
La ruota oziosa non modifica il valore assoluto del rapporto finale:
Quindi:
Il verso cambia a ogni ingranamento esterno. Con due ingranamenti esterni, la condotta gira nello stesso verso della motrice. La ruota oziosa serve a invertire il verso, distanziare gli alberi o imporre un percorso, non a cambiare il rapporto numerico finale.
8. Pignone e cremagliera
Esercizio. Un pignone ha modulo m=3\ \text{mm}, z=24 denti e ruota a n=300\ \text{giri/min} ingranando con una cremagliera. Calcolare diametro primitivo e velocità lineare della cremagliera.
Diametro primitivo:
La velocità periferica del pignone coincide con quella della cremagliera:
Il sistema pignone-cremagliera trasforma rotazione in traslazione con rapporto fissato dal diametro primitivo. È il modello base per guide lineari, sterzi, attuatori e macchine utensili.
9. Epicicloidale con solare bloccato
Esercizio. Per lo stesso epicicloidale del punto 6 (z_s=30, z_c=90), ora si blocca il solare (\omega_s=0) e si impone alla corona \omega_c=100\ \text{giri/min}. Calcolare la velocità del portatreno.
Usiamo Willis:
Sostituendo \omega_s=0 e \omega_c=100:
Da cui:
Il portatreno gira nello stesso verso della corona e più lentamente. Cambiare il membro bloccato cambia completamente la funzione cinematica dello stesso gruppo di ruote.
Errori comuni
- Confondere \tau con il rapporto dei denti. \tau=\omega_2/\omega_1=z_1/z_2: la velocità è inversa ai denti.
- Ingranare ruote di modulo diverso. Solo ruote con lo stesso modulo m ingranano: il modulo deve coincidere.
- Dimenticare l’inversione coppia-velocità. Una riduzione che divide la velocità moltiplica la coppia (a potenza costante).
- Applicare Willis nel riferimento fisso. La formula di Willis vale nel riferimento del portatreno: usarla nel telaio fisso dà risultati errati.
- Attribuire rapporto alla ruota oziosa. In un treno semplice l’oziosa cambia il verso o l’interasse, non il rapporto finale tra prima e ultima ruota.
- Dimenticare la conversione rotazione-traslazione. Nelle cremagliere la velocità lineare è quella periferica al diametro primitivo.