Un rotismo epicicloidale, detto anche rotismo planetario, è un sistema di ingranaggi in cui almeno una ruota dentata ruota attorno al proprio asse mentre il suo asse è trascinato da un membro mobile, detto portatreno. È diverso da un treno di ingranaggi ordinario, dove gli assi delle ruote sono fissi rispetto al telaio.
La configurazione più comune contiene:
| Membro | Descrizione | Simbolo tipico |
|---|---|---|
| solare | ruota centrale esterna | s |
| satelliti | ruote che ingranano con solare e corona | sat |
| corona | ruota dentata interna | c |
| portatreno | braccio che trasporta gli assi dei satelliti | p |
Il nome “epicicloidale” deriva dal fatto che il centro dei satelliti descrive una traiettoria attorno al centro del rotismo. In molte applicazioni si usa anche il termine “planetario”: il solare sta al centro, i satelliti gli orbitano attorno e la corona chiude il sistema.
Differenza da un rotismo ordinario
In un rotismo ordinario gli assi sono fissi e il rapporto di velocità si calcola moltiplicando i rapporti tra numeri di denti. In un rotismo epicicloidale, invece, il portatreno può muoversi: le velocità assolute non bastano, perché una parte del moto è trascinata dal riferimento mobile.
Per questo non è corretto scrivere semplicemente:
quando il portatreno è libero di ruotare. Quel rapporto vale solo nel riferimento solidale al portatreno, cioè quando si sottrae la velocità del portatreno a tutte le ruote.
Formula di Willis
La relazione cinematica fondamentale è la formula di Willis:
dove \omega_p è la velocità angolare del portatreno e \tau_0 è il rapporto di trasmissione del treno equivalente con portatreno bloccato.
In un rotismo semplice con solare s, corona interna c e portatreno p, la forma più usata è:
Il segno meno deriva dall’accoppiamento tra solare e corona tramite satelliti: nel riferimento del portatreno, solare e corona hanno versi relativi opposti rispetto al rapporto dei denti.
Gradi di libertà
Un rotismo epicicloidale semplice ha tre membri principali esterni:
Le loro velocità non sono indipendenti, perché sono legate dalla formula di Willis. Il sistema ha quindi, in pratica, due gradi di libertà cinematici: assegnate due velocità, la terza è determinata.
Per usarlo come riduttore o moltiplicatore ordinario, di solito si impone un vincolo a uno dei tre membri:
- un membro viene bloccato;
- un membro è ingresso;
- un membro è uscita.
Lo stesso gruppo meccanico può così produrre rapporti diversi cambiando quale membro viene bloccato o comandato. È il principio alla base dei cambi automatici epicicloidali.
Corona bloccata
Si consideri un rotismo con z_s denti sul solare e z_c denti sulla corona. Se la corona è bloccata:
Willis diventa:
Da cui:
Quindi:
e:
Se z_s=30 e z_c=90:
Il portatreno gira nello stesso verso del solare ma quattro volte più lentamente: è una riduzione compatta con assi coassiali.
Solare bloccato
Se il solare è bloccato:
La formula:
porta a:
Con z_s=30 e z_c=90:
Questo caso dà un rapporto diverso dallo stesso gruppo di ruote. La reversibilità tra ingresso e uscita dipende da rendimento, attriti, carico e organi di comando, non solo dalla cinematica ideale.
Portatreno bloccato
Se il portatreno è bloccato:
Il rotismo si comporta come un treno ordinario:
Questa situazione è utile per calcolare \tau_0, ma in molte applicazioni il portatreno non resta bloccato durante il funzionamento: è proprio il suo moto a rendere il rotismo epicicloidale compatto e versatile.
Ruolo dei satelliti
I satelliti non sono solo ruote intermedie. Hanno tre ruoli:
- trasmettono il moto tra solare e corona;
- permettono al portatreno di raccogliere o fornire coppia;
- ripartiscono il carico su più rami in parallelo.
Se il rotismo ha più satelliti identici, la coppia può distribuirsi tra essi. Questo aumenta la densità di coppia rispetto a un singolo ingranamento e consente riduttori molto compatti. La distribuzione reale del carico, però, non è automaticamente perfetta: dipende da precisione costruttiva, elasticità, giochi, cuscinetti e deformazioni del portatreno.
Coppia, potenza e rendimento
In un modello ideale la potenza si conserva:
Una riduzione di velocità comporta quindi aumento di coppia, compatibilmente con rendimento e perdite:
Nei rotismi epicicloidali reali le perdite derivano da ingranamento, cuscinetti, lubrificazione, strisciamenti, agitazione dell’olio e deformazioni elastiche. Il rendimento è spesso elevato nei planetari a ingranaggi cilindrici, ma può diminuire con rapporti molto alti, lubrificazione sfavorevole o carichi non distribuiti uniformemente.
Un punto importante è che la potenza può entrare o uscire da membri diversi. Nei cambi automatici, per esempio, freni e frizioni bloccano o collegano membri differenti per ottenere rapporti successivi senza cambiare fisicamente gli ingranaggi.
Applicazioni
I rotismi epicicloidali sono usati quando servono compattezza, coassialità e alta densità di coppia:
| Applicazione | Motivo d’uso |
|---|---|
| cambi automatici | più rapporti nello stesso gruppo tramite frizioni e freni |
| riduttori planetari | forte riduzione in poco ingombro |
| robotica | alta coppia, coassialità, compattezza |
| trasmissioni aeronautiche | rapporto elevato e massa contenuta |
| differenziali | composizione di velocità tra due uscite |
| utensili elettrici | riduzione compatta tra motore veloce e mandrino |
Nel differenziale meccanico, la logica epicicloidale permette di combinare o ripartire velocità tra alberi diversi. Nei riduttori planetari industriali, invece, si cerca spesso un rapporto fisso, elevata rigidezza torsionale e buona capacità di coppia.
Vantaggi e limiti
I principali vantaggi sono:
- ingresso e uscita coassiali;
- elevata densità di coppia;
- rapporti diversi ottenibili con lo stesso gruppo;
- compattezza assiale;
- possibilità di ripartire il carico su più satelliti;
- buona integrazione con motori elettrici e attuatori.
I limiti principali sono:
- calcolo cinematico meno immediato rispetto ai treni ordinari;
- sensibilità a giochi, tolleranze e distribuzione del carico;
- necessità di lubrificazione accurata;
- difficoltà di montaggio e allineamento;
- possibili vibrazioni torsionali e rumore;
- manutenzione più complessa rispetto a coppie di ingranaggi semplici.
Procedura di calcolo
Per analizzare un rotismo epicicloidale:
- assegnare un verso positivo comune a tutte le velocità angolari;
- identificare solare, corona e portatreno;
- segnare quale membro è bloccato, quale è ingresso e quale è uscita;
- calcolare il rapporto a portatreno bloccato \tau_0;
- scrivere la formula di Willis con i segni corretti;
- sostituire le velocità note e risolvere l’incognita;
- solo dopo calcolare coppie, potenza e rendimento.
La convenzione dei segni deve essere dichiarata. Un risultato negativo non è necessariamente un errore: può indicare rotazione in verso opposto rispetto al riferimento scelto.
Errori comuni
- Calcolare il rapporto come in un treno ordinario senza considerare il portatreno.
- Confondere solare, corona e portatreno nel bilancio delle velocità.
- Dimenticare che la corona è una ruota a dentatura interna.
- Usare i rapporti dei denti senza segno.
- Bloccare mentalmente il membro sbagliato durante il calcolo.
- Confondere rapporto cinematico ideale e rapporto reale sotto carico.
- Supporre che più satelliti ripartiscano sempre la coppia in modo perfettamente uguale.
- Trascurare rendimento, giochi e rigidezza torsionale nelle applicazioni di precisione.
Vedi anche: formula di Willis, rapporto di trasmissione, ingranaggio, treno di ingranaggi, meccanica applicata alle macchine, potenza e ingranaggi e rotismi: esercizi svolti.