I limiti laterali descrivono il comportamento di una funzione matematica quando la variabile si avvicina a un punto usando solo uno dei due lati disponibili. Sono quindi limiti unilaterali: non chiedono che x possa arrivare a x_0 da entrambe le parti, ma fissano esplicitamente il verso di avvicinamento.
La distinzione è essenziale ogni volta che una formula cambia comportamento in corrispondenza di una soglia: funzioni definite a tratti, valori assoluti, salti, estremi del dominio, asintoti verticali, leggi di controllo con commutazioni e modelli fisici con stato “prima” e “dopo” un evento.
Il limite da sinistra si indica con:
mentre il limite da destra si indica con:
Il segno - in x_0^- non significa che x sia negativo: significa che x resta minore di x_0. Analogamente, x_0^+ significa che x resta maggiore di x_0.
Rapporto con il limite bilatero
Il limite di funzione ordinario in un punto interno del dominio è bilatero: osserva la funzione avvicinandosi al punto da sinistra e da destra. Il legame con i limiti laterali è:
La condizione è doppia: entrambi i limiti laterali devono esistere e devono avere lo stesso valore. Se uno dei due non esiste, oppure se esistono ma sono diversi, il limite bilatero non esiste. Questo è il criterio operativo più importante quando si studiano punti di discontinuità e funzioni a tratti.
Il valore f(x_0) non entra nella definizione del limite. Una funzione può avere due limiti laterali coincidenti anche se non è definita in x_0, oppure se in x_0 assume un valore diverso dal limite. Viceversa, una funzione può essere definita in x_0 ma avere laterali discordi.
Definizione epsilon-delta laterale
Il limite destro:
significa che f(x) si avvicina a L quando x tende a x_0 restando a destra del punto. In forma \varepsilon-\delta:
Il limite sinistro si definisce analogamente imponendo:
Rispetto alla definizione bilatera, cambia soltanto la regione ammessa per x: nel limite destro si considera l’intervallo (x_0,x_0+\delta), nel limite sinistro l’intervallo (x_0-\delta,x_0). Questa piccola modifica formale ha conseguenze importanti, perché permette di studiare anche punti in cui il dominio esiste da un solo lato.
Dominio e punti di frontiera
I limiti laterali sono obbligatori agli estremi di un intervallo. Se una funzione è definita su [a,+\infty), il comportamento in a può essere studiato solo da destra:
Il limite sinistro in a non ha significato come limite reale della funzione, perché non esistono punti del dominio con x<a sufficientemente vicini ad a. Per esempio, per:
il punto 0 è frontiera del dominio reale. Ha senso calcolare:
ma non il limite sinistro reale, perché \sqrt{x} non è definita per x<0.
Questo punto è frequente in ingegneria: concentrazioni, lunghezze, pressioni assolute, tempi e moduli non ammettono tutti i valori reali. Studiare correttamente il lato ammesso evita conclusioni artificiali prodotte da estensioni non fisiche del modello.
Funzioni a tratti e salti
Le funzioni definite a tratti sono il caso più naturale. Consideriamo:
Allora:
Poiché i due limiti laterali sono diversi, il limite bilatero in 0 non esiste.
Questo non dipende dal valore assegnato nel punto. Se si cambiasse f(0) da 1 a 0, oppure a qualunque altro numero reale, i limiti laterali resterebbero gli stessi. Il salto è una proprietà del comportamento vicino al punto, non del valore nel punto.
La differenza:
misura l’ampiezza del salto quando entrambi i laterali sono finiti. Nei segnali, nei controllori ON-OFF e nelle leggi costitutive con soglia, questa ampiezza rappresenta spesso una variazione istantanea della grandezza modellata.
Valore assoluto e cambio di segno
Molti limiti laterali nascono dalla presenza di un valore assoluto. Per esempio:
Per x>0, |x|=x, quindi:
Per x<0, |x|=-x, quindi:
I laterali in 0 sono:
Il limite bilatero non esiste. Questo esempio mostra una regola pratica: quando compare un modulo, un denominatore che cambia segno o una definizione a tratti, bisogna separare esplicitamente i due lati prima di concludere.
Limiti infiniti laterali
I limiti laterali possono essere anche infiniti. Per esempio:
La distinzione tra i due lati è essenziale: scrivere semplicemente che 1/x tende a infinito per x\to0 è ambiguo e, nel senso bilatero ordinario, scorretto. Da destra la funzione cresce oltre ogni soglia positiva; da sinistra decresce oltre ogni soglia negativa.
Il caso:
significa che per ogni soglia M>0 esiste un intorno destro del punto in cui f(x)>M. In forma sintetica:
Se almeno uno dei due laterali è infinito, il limite non è un numero reale finito. Tuttavia, quando entrambi i laterali divergono allo stesso infinito, si usa spesso la notazione:
per indicare divergenza bilatera concorde. Per esempio:
In questo caso la retta x=2 è un asintoto verticale con divergenza concorde.
Continuità laterale
Una funzione è continua da destra in x_0 se è definita in x_0 e:
È continua da sinistra se:
La continuità bilatera in un punto interno del dominio richiede entrambe le condizioni laterali. Agli estremi di un intervallo chiuso, invece, la continuità si valuta dal lato disponibile. Una funzione definita su [a,b] è continua in a se è continua da destra in a, ed è continua in b se è continua da sinistra in b.
Questa convenzione è importante nei teoremi sulle funzioni continue in intervalli chiusi: non si pretende un comportamento fuori dal dominio. In un modello fisico, per esempio, il tempo iniziale t=0 richiede continuità da destra, non da sinistra.
Discontinuità eliminabile, salto e seconda specie
I limiti laterali permettono di classificare i punti di discontinuità. Le situazioni principali sono:
| Caso | Laterali | Interpretazione |
|---|---|---|
| discontinuità eliminabile | laterali finiti e uguali, ma f(x_0) assente o diverso | il grafico ha un buco o un valore isolato anomalo |
| salto | laterali finiti ma diversi | la funzione passa bruscamente da un livello a un altro |
| seconda specie | almeno un laterale infinito o non esistente | il comportamento vicino al punto è non regolare |
Per la funzione:
si ha, per x\ne1:
Quindi:
Il limite bilatero esiste e vale 2, ma f(1)=5: la discontinuità è eliminabile. I laterali distinguono questo caso da un salto vero, dove i due valori laterali sarebbero diversi.
Relazione con derivabilità
La derivata è definita tramite un limite. Anche per la derivabilità esistono derivate laterali, ottenute considerando il rapporto incrementale solo da un lato:
La derivata bilatera esiste se e solo se le due derivate laterali esistono e coincidono. Per f(x)=|x| in 0:
La funzione è continua in 0, ma non è derivabile in 0. Il confronto laterale mostra quindi che continuità e derivabilità sono proprietà diverse: la continuità controlla l’andamento dei valori della funzione, la derivabilità controlla l’andamento delle pendenze.
Procedura operativa
Quando si affronta un limite laterale, conviene procedere in modo ordinato:
- individuare il punto x_0 e controllare il dominio della funzione;
- stabilire se esistono espressioni diverse per x<x_0 e per x>x_0;
- semplificare separatamente l’espressione valida a sinistra e quella valida a destra;
- calcolare \lim_{x\to x_0^-} f(x) e \lim_{x\to x_0^+} f(x);
- confrontare i risultati prima di parlare di limite bilatero, continuità o discontinuità.
Nei limiti con forme indeterminate, questa separazione può precedere le tecniche algebriche. Per esempio, razionalizzazione, fattorizzazione o confronti asintotici vanno applicati alla formula corretta per il lato considerato. Se il segno di un termine cambia attraversando x_0, ignorare i lati può produrre un risultato formalmente elegante ma matematicamente falso.
Errori comuni
Un errore frequente è controllare solo il valore della funzione nel punto. Il valore f(x_0) non determina il limite laterale: conta il comportamento per valori vicini ma distinti dal punto.
Un secondo errore è usare il limite bilatero in punti che sono estremi del dominio. Se il dominio reale offre un solo lato di avvicinamento, il limite corretto è un limite laterale.
Un terzo errore è concludere che il limite bilatero esista perché un lato è stato calcolato correttamente. Serve sempre il confronto tra sinistra e destra, a meno che il dominio o il problema dichiarino esplicitamente un solo lato.
Infine, nei limiti infiniti, bisogna distinguere il verso della divergenza. I risultati +\infty e -\infty non coincidono: indicano due comportamenti opposti e, se compaiono su lati diversi, impediscono un limite bilatero concorde.
Vedi anche: limite destro, limite sinistro, limite di funzione, continuità, punti di discontinuità, valore assoluto, asintoto, forme indeterminate e limiti laterali: esercizi svolti.