Un asintoto è una retta la cui distanza dal grafico di una funzione tende a zero quando la variabile x o la funzione stessa tendono a infinito.
Tipologie
- Asintoto Verticale: la retta x = x_0 è un asintoto se \lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty.
- Asintoto Orizzontale: la retta y = L è un asintoto se \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L.
- Asintoto Obliquo: la retta y = mx + q (con m \ne 0) è un asintoto se:
- m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}
- q = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]
Significato Tecnico
In ingegneria, gli asintoti descrivono il comportamento a regime di un sistema. Ad esempio, la risposta in frequenza di un filtro (diagramma di Bode) viene spesso approssimata tramite asintoti per facilitarne l’analisi e la progettazione.
Asintoti nei diagrammi di Bode
Nell’analisi dei sistemi di controllo, la risposta in frequenza G(j\omega) viene approssimata con asintoti di Bode: rette a tratti nel piano log-frequenza / dB. Per un polo reale 1/(1 + j\omega\tau):
- Per \omega \ll 1/\tau: |G| \approx 0\ \text{dB} (asintoto orizzontale)
- Per \omega \gg 1/\tau: |G| \approx -20\,\log_{10}(\omega\tau) dB (asintoto obliquo a -20\ \text{dB/decade})
La frequenza di incrocio \omega_n = 1/\tau è detta frequenza di taglio. L’approssimazione asintotica introduce un errore massimo di 3\ \text{dB} alla frequenza di taglio, trascurabile nella maggior parte delle analisi progettuali.
Asintoti obliqui in funzioni razionali
Per una funzione razionale f(x) = P(x)/Q(x) con \deg P = \deg Q + 1, l’asintoto obliquo si calcola con la divisione polinomiale:
f(x) = (mx + q) + \frac{r(x)}{Q(x)}
dove mx + q è il quoziente. Il termine r(x)/Q(x) \to 0 per x \to \pm\infty.
Vedi anche: Algebra dei Limiti.