Asintoto

Un asintoto è una retta la cui distanza dal grafico di una funzione tende a zero quando la variabile $x$ o la funzione stessa tendono a infinito.

Tipologie

1. Asintoto Verticale: la retta $x = x_0$ è un asintoto se $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$.
2. Asintoto Orizzontale: la retta $y = L$ è un asintoto se $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$.
3. Asintoto Obliquo: la retta $y = mx + q$ (con $m \ne 0$) è un asintoto se:
   • $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
   • $q = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$

Significato Tecnico

In ingegneria, gli asintoti descrivono il comportamento a regime di un sistema. Ad esempio, la risposta in frequenza di un filtro (diagramma di Bode) viene spesso approssimata tramite asintoti per facilitarne l’analisi e la progettazione.

Asintoti nei diagrammi di Bode

Nell’analisi dei sistemi di controllo, la risposta in frequenza $G(j\omega)$ viene approssimata con asintoti di Bode: rette a tratti nel piano log-frequenza / dB. Per un polo reale $1/(1 + j\omega\tau)$:

• Per $\omega \ll 1/\tau$: $|G| \approx 0\ \text{dB}$ (asintoto orizzontale)
• Per $\omega \gg 1/\tau$: $|G| \approx -20\,\log_{10}(\omega\tau)$ dB (asintoto obliquo a $-20\ \text{dB/decade}$)

La frequenza di incrocio $\omega_n = 1/\tau$ è detta frequenza di taglio. L’approssimazione asintotica introduce un errore massimo di $3\ \text{dB}$ alla frequenza di taglio, trascurabile nella maggior parte delle analisi progettuali.

Asintoti obliqui in funzioni razionali

Per una funzione razionale $f(x) = P(x)/Q(x)$ con $\deg P = \deg Q + 1$, l’asintoto obliquo si calcola con la divisione polinomiale:

$f(x) = (mx + q) + \frac{r(x)}{Q(x)}$

dove $mx + q$ è il quoziente. Il termine $r(x)/Q(x) \to 0$ per $x \to \pm\infty$.

Vedi anche: Algebra dei Limiti.