Un punto x_0 è un punto di discontinuità per una funzione f(x) se non è soddisfatta la condizione \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). Le discontinuità vengono classificate in base al comportamento dei limiti destro e sinistro.
Classificazione
- Prima Specie (Salto): I limiti destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi tra loro. | \lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x) | = \text{Salto} \neq 0
- Seconda Specie: Almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste. È tipica degli asintoti verticali.
- Terza Specie (Eliminabile): Il limite esiste ed è finito, ma o la funzione non è definita in x_0, oppure f(x_0) \neq L.
Esempi Canonici
| Tipo | Esempio | Comportamento |
|---|---|---|
| Prima specie | Funzione segno \text{sgn}(x) in x=0 | Salto da -1 a +1 |
| Seconda specie | 1/x in x=0 | Limite +\infty da destra, -\infty da sinistra |
| Terza specie | \frac{\sin x}{x} in x=0 | Limite = 1, ma la funzione non è definita in 0 |
Significato Ingegneristico
Le discontinuità rappresentano spesso variazioni brusche o istantanee nei modelli fisici.
- Segnali a Gradino: La funzione gradino (Heaviside) presenta una discontinuità di prima specie, usata per modellare l’accensione di un interruttore.
- Urti e Impulsi: Forze impulsive che agiscono in tempi trascurabili vengono modellate come punti in cui la velocità presenta un salto.
- Sistemi di Controllo: I controllori ON-OFF presentano discontinuità di salto; lo studio di queste singolarità è fondamentale per evitare oscillazioni indesiderate (chattering).
- Scienza delle Costruzioni: Un carico puntiforme su una trave genera una discontinuità di salto nel diagramma dello sforzo di taglio.