Equivalenza asintotica — ingegnerismo.it

Due funzioni sono in equivalenza asintotica se hanno lo stesso termine dominante quando la variabile tende a un certo regime: vicino a un punto, all’infinito, a zero, oppure lungo una successione. È una relazione locale: non descrive l’intera funzione, ma solo il suo comportamento nel limite considerato.

Formalmente, per $x\to x_0$ oppure $x\to\infty$ , si scrive:

f(x)\sim g(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{f(x)}{g(x)}\to1.

La definizione richiede che $g(x)$ non si annulli nel regime studiato, almeno da un certo punto in poi o in un intorno bucato del punto. In forma equivalente:

f(x)-g(x)=o(g(x)),

cioè la differenza tra $f$ e $g$ è trascurabile rispetto a $g$ . In termini di errore relativo:

\dfrac{f(x)-g(x)}{g(x)}\to0.

Per questo l’equivalenza asintotica è più precisa del dire che due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza. Due funzioni possono essere dello stesso ordine anche se il loro rapporto tende a $2$ , a $-3$ o resta oscillante ma limitato; sono equivalenti solo quando il rapporto tende esattamente a $1$ .

Significato operativo

Scrivere $f\sim g$ significa che, nel limite scelto, $g$ può sostituire $f$ quando interessa il termine principale. La sostituzione è utile nei limiti, nelle stime di errore, negli algoritmi numerici, nei modelli fisici linearizzati e negli sviluppi locali usati in ingegneria.

Per esempio, per angoli piccoli in radianti:

\sin x\sim x \qquad (x\to0).

Questo non dice che $\sin x=x$ ; dice che il rapporto tra le due grandezze tende a $1$ . Per $x$ piccolo, l’errore assoluto $\sin x-x$ è già piccolo, ma il punto matematico più forte è che l’errore è piccolo rispetto alla scala dominante $x$ .

Regole sicure

Gli equivalenti si possono sostituire in prodotti, quozienti e potenze, purché le espressioni siano definite nel regime considerato. Se:

f\sim g,\quad h\sim k

allora:

fh\sim gk, \qquad \dfrac{f}{h}\sim\dfrac{g}{k},

quando i denominatori non si annullano nel senso rilevante. Se $\alpha$ è una costante e le potenze sono definite:

f\sim g \quad\Rightarrow\quad f^\alpha\sim g^\alpha.

La somma è il punto delicato. Se non ci sono cancellazioni del termine dominante, la sostituzione può funzionare; se invece i termini principali si annullano, serve un termine successivo. Una regola sicura è:

f\sim g,\qquad r=o(g) \quad\Rightarrow\quad f+r\sim g.

Invece non è lecito sostituire automaticamente equivalenti dentro una differenza tra quantità quasi uguali.

Esempi notevoli

Per $x\to0$ :

\sin x\sim x, \qquad e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x.

Altri equivalenti frequenti sono:

1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}, \qquad \tan x\sim x, \qquad (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x.

Un esempio di cancellazione mostra perché l’uso meccanico è rischioso. Poiché $\cos x\sim1$ per $x\to0$ , si potrebbe essere tentati di scrivere $1-\cos x\sim1-1=0$ , ma questa operazione cancella proprio il termine dominante. Bisogna usare un’informazione di ordine successivo:

\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2),

da cui:

1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}.

Collegamento con Landau e Taylor

Scrivere $f\sim g$ equivale a dire:

f=g+o(g).

Per questo l’equivalenza asintotica è spesso il primo termine di uno sviluppo asintotico. I simboli di Landau permettono di esprimere in modo compatto il termine trascurato, mentre la formula di Taylor fornisce molti equivalenti locali. Per esempio:

\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)

implica subito $\sin x\sim x$ , ma permette anche di trattare cancellazioni come $\sin x-x$ , per cui il primo termine non basta:

\sin x-x\sim-\dfrac{x^3}{6}.

Negli sviluppi asintotici usati nei metodi numerici, nei modelli perturbativi e nelle approssimazioni fisiche, l’equivalenza individua il termine guida; lo sviluppo completo serve quando occorre stimare l’errore o confrontare termini secondari.

Successioni

La stessa idea vale per successioni. Si scrive:

a_n\sim b_n \qquad (n\to\infty)

se:

\dfrac{a_n}{b_n}\to1.

Per esempio:

n^2+n\sim n^2, \qquad \sqrt{n^2+1}\sim n.

Anche qui l’equivalenza riguarda il termine dominante, non l’uguaglianza dei valori. Nel primo esempio l’errore assoluto è $n$ , che diverge; tuttavia l’errore relativo rispetto a $n^2$ tende a zero.

Errori comuni

Un primo errore è sostituire equivalenti dentro somme o differenze senza controllare le cancellazioni. Se i termini dominanti si eliminano, bisogna usare uno sviluppo più fine.

Un secondo errore è usare un equivalente fuori dal limite per cui è valido. $\sin x\sim x$ vale per $x\to0$ , non per angoli generici.

Un terzo errore è confondere $f\sim g$ con $f-g\to0$ : l’equivalenza richiede errore relativo piccolo, non solo errore assoluto piccolo. Per esempio $n^2+n$ e $n^2$ sono equivalenti anche se la differenza tende all’infinito.

Infine, segno e dominio contano quando si elevano equivalenti a potenze non intere, si prendono logaritmi o si compongono funzioni non regolari nel regime considerato.

Vedi anche: Sviluppo asintotico, Simboli di Landau, Algebra degli o-piccoli, Limiti notevoli, Formula di Taylor, Errore relativo, Ordine di grandezza.