La formula di Taylor permette di approssimare una funzione sufficientemente regolare in un intorno di un punto x_0 tramite un polinomio di grado n, minimizzando l’errore commesso.
Polinomio di Taylor
Il polinomio di grado n che approssima f(x) in x_0 è: T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n Se x_0 = 0, la formula è nota come formula di Maclaurin.
Il Resto
L’approssimazione non è mai esatta, tranne che per i polinomi. La differenza tra la funzione e il polinomio è detta resto R_n(x):
- Resto di Peano: R_n(x) = o((x-x_0)^n). Fornisce informazioni qualitative sull’ordine di infinitesimo dell’errore (utile per i limiti).
- Resto di Lagrange: Permette di stimare quantitativamente l’errore massimo commesso nell’intervallo.
Significato Ingegneristico
La formula di Taylor è il cuore della modellazione numerica.
- Linearizzazione: Quasi tutti i modelli fisici reali sono non lineari. Vengono linearizzati usando Taylor al primo ordine (n=1) per poter applicare le tecniche dell’algebra lineare e della teoria dei controlli lineari.
- Calcolo Numerico: Molti algoritmi (es. Metodo di Newton) derivano direttamente dalla troncatura della serie di Taylor.
- Analisi dell’Errore: Permette di stabilire quante cifre decimali di precisione sono garantite da un’approssimazione analitica.