Formula di Taylor

La formula di Taylor permette di approssimare una funzione sufficientemente regolare in un intorno di un punto $x_0$ tramite un polinomio di grado $n$, minimizzando l’errore commesso.

Polinomio di Taylor

Il polinomio di grado $n$ che approssima $f(x)$ in $x_0$ è: $T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ Se $x_0 = 0$, la formula è nota come formula di Maclaurin.

Il Resto

L’approssimazione non è mai esatta, tranne che per i polinomi. La differenza tra la funzione e il polinomio è detta resto $R_n(x)$:

• Resto di Peano: $R_n(x) = o((x-x_0)^n)$. Fornisce informazioni qualitative sull’ordine di infinitesimo dell’errore (utile per i limiti).
• Resto di Lagrange: Permette di stimare quantitativamente l’errore massimo commesso nell’intervallo.

Significato Ingegneristico

La formula di Taylor è il cuore della modellazione numerica.

• Linearizzazione: Quasi tutti i modelli fisici reali sono non lineari. Vengono linearizzati usando Taylor al primo ordine ($n=1$) per poter applicare le tecniche dell’algebra lineare e della teoria dei controlli lineari.
• Calcolo Numerico: Molti algoritmi (es. Metodo di Newton) derivano direttamente dalla troncatura della serie di Taylor.
• Analisi dell’Errore: Permette di stabilire quante cifre decimali di precisione sono garantite da un’approssimazione analitica.