Algebra degli O-piccoli — ingegnerismo.it

L’algebra degli o-piccoli è un formalismo che permette di trascurare i termini di ordine superiore durante il calcolo dei limiti, concentrandosi solo sulla parte dominante dello sviluppo di una funzione.

Definizione formale

Siano $f$ e $g$ funzioni definite in un intorno di $x_0$ (o per $x \to \pm\infty$ ). Si dice che $f(x)$ è o-piccolo di $g(x)$ per $x \to x_0$ e si scrive $f(x) = o(g(x))$ se:

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

In parole: $f$ tende a zero più velocemente di $g$ . Per $g(x) = x^n$ si parla di infinitesimo di ordine superiore a $n$ .

Regole Principali

Dati $n, m \in \mathbb{N}$ :

Somma: $o(x^n) + o(x^n) = o(x^n)$ .
Prodotto: $x^m \cdot o(x^n) = o(x^{n+m})$ .
Prodotto di o-piccoli: $o(x^n) \cdot o(x^m) = o(x^{n+m})$ .
Composizione: Se $f(x) \to 0$ per $x \to 0$ , allora $o(f(x)^n)$ segue le stesse regole.

Utilità

È lo strumento fondamentale per utilizzare gli sviluppi di Taylor nel calcolo dei limiti: permette di troncare lo sviluppo al grado desiderato sapendo esattamente quale ordine di errore si sta commettendo.

Significato Ingegneristico

Analisi dell’Errore Numerico: Permette di stimare come l’errore di troncamento si propaga attraverso operazioni algebriche complesse in algoritmi di simulazione.
Linearizzazione di Sistemi: In ingegneria dei controlli, si trascurano i termini $o(\Delta x)$ per ottenere modelli lineari validi in un intorno del punto di equilibrio.
Calcolo Strutturale: Molte teorie (es. la teoria delle travi sottili) si basano sul trascurare infinitesimi di ordine superiore nelle equazioni della congruenza e dell’equilibrio.
Fisica Matematica: Utilizzata nello studio delle perturbazioni per risolvere equazioni differenziali non lineari approssimandole con una serie di problemi lineari.

Esempio applicativo

Per calcolare $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$ , si sostituisce $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$ :

$\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\dfrac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1) \xrightarrow{x\to 0} -\frac{1}{6}$

Senza l’algebra degli o-piccoli, questo limite richiederebbe tre applicazioni di de l’Hôpital.

Vedi anche: Algebra dei Limiti.