L’errore relativo misura quanto un errore è grande rispetto alla scala della quantità che si sta stimando, misurando o approssimando. È uno strumento essenziale in analisi numerica, metrologia, statistica applicata e ingegneria, perché lo stesso errore assoluto può essere trascurabile in un problema e gravissimo in un altro.
Se x è il valore di riferimento e \hat{x} è il valore approssimato o misurato, l’errore assoluto è:
oppure, se interessa solo l’entità dello scostamento:
L’errore relativo, quando x\ne0, è invece:
Il valore assoluto |e_r| è adimensionale. Spesso viene espresso in percentuale moltiplicando per 100:
Perché serve
Un errore assoluto di 10^{-3} può essere eccellente se il valore atteso è 10^5, ma inaccettabile se il valore atteso è 10^{-6}. L’errore relativo introduce quindi una normalizzazione naturale rispetto alla scala del problema.
Per esempio, se una lunghezza reale è 2{,}000\,\mathrm{m} e una misura fornisce 2{,}002\,\mathrm{m}, l’errore assoluto è 0{,}002\,\mathrm{m} e l’errore relativo in valore assoluto è:
Se invece la grandezza reale fosse 0{,}004\,\mathrm{m}, lo stesso errore assoluto di 0{,}002\,\mathrm{m} corrisponderebbe a un errore relativo del 50\%.
Collegamento con approssimazioni e limiti
L’errore relativo è il linguaggio naturale dell’equivalenza asintotica. Dire che f(x)\sim g(x) per x\to x_0 equivale a dire:
In altre parole, g approssima f con errore relativo che tende a zero nel limite considerato. Questa è una condizione più forte del semplice errore assoluto piccolo, perché misura l’errore rispetto al termine dominante.
Nei metodi numerici si usano spesso criteri di arresto relativi. Se x_k è una sequenza di approssimazioni, un controllo tipico è:
Il termine \max(1,|x_{k+1}|) evita divisioni instabili quando il valore è vicino a zero e combina controllo assoluto e relativo.
Errore relativo nelle misure
Nelle misure sperimentali l’errore relativo permette di confrontare strumenti o procedure su scale diverse. Un sensore con errore di 0{,}1\,\mathrm{V} può essere molto accurato su un segnale da 100\,\mathrm{V} e pessimo su un segnale da 0{,}2\,\mathrm{V}. Per questo le specifiche tecniche spesso indicano accuratezza come percentuale del fondo scala, della lettura o di una combinazione delle due.
Quando il valore vero non è noto, l’errore relativo rispetto al valore vero non è calcolabile direttamente. Si usa allora un valore di riferimento: una misura campione, una soluzione numerica più accurata, un valore certificato oppure una stima sperimentale.
Errori comuni
Il primo errore è usare l’errore relativo quando il valore di riferimento è zero o molto vicino a zero. In quel caso il rapporto può esplodere o diventare privo di significato operativo; serve un criterio assoluto, misto o basato su una scala caratteristica del problema.
Il secondo errore è confrontare errori relativi calcolati con riferimenti diversi. Cambiare denominatore cambia la scala dell’errore e può alterare l’interpretazione.
Il terzo errore è dimenticare il segno. L’errore relativo firmato dice se la stima sovrastima o sottostima il riferimento; il valore assoluto misura solo l’ampiezza dello scostamento.
Vedi anche: Equivalenza asintotica, Ordine di grandezza, Limite, Simboli di Landau.