L’ordine di grandezza descrive la scala dominante di una quantità, trascurando dettagli secondari rispetto alla potenza, alla classe di crescita o alla dimensione principale del fenomeno. In fisica e ingegneria serve per stimare rapidamente se un risultato è plausibile; in matematica e informatica serve per confrontare funzioni, errori, complessità e termini asintotici.
Nel linguaggio più comune, due quantità positive hanno lo stesso ordine di grandezza se differiscono per un fattore moderato rispetto alla scala considerata. Per esempio 3\cdot10^4 e 8\cdot10^4 sono entrambe grandezze dell’ordine di 10^4, mentre 5\cdot10^1 e 5\cdot10^7 appartengono a scale fisiche molto diverse.
Ordini decimali
Per una quantità positiva x, l’ordine di grandezza decimale è legato alla potenza di dieci più rappresentativa. Se:
allora 10^n è la scala decimale naturale della quantità. In molte stime si dice che x è “dell’ordine di 10^n” e si scrive informalmente:
nel senso pratico di stima di scala, non necessariamente nel senso rigoroso di equivalenza asintotica.
Questa distinzione è importante: nella matematica dei limiti il simbolo \sim ha un significato preciso, rapporto tendente a 1; nelle stime fisiche informali indica spesso solo una scala comparabile.
Confronto tra funzioni
Per funzioni e successioni, l’ordine di grandezza si formalizza con i simboli di Landau. Scrivere:
nel regime x\to x_0 oppure x\to\infty significa che f non cresce, in modulo, più di una costante per g nel regime considerato. In modo schematico:
per x abbastanza vicino al regime studiato e per una costante C\gt0.
Se valgono sia f=O(g) sia g=O(f), le due funzioni hanno lo stesso ordine asintotico. Questo però non implica equivalenza asintotica: 2x^2 e x^2 hanno lo stesso ordine di grandezza, ma non sono equivalenti perché il rapporto tende a 2, non a 1.
Uso ingegneristico
Le stime di ordine di grandezza sono un controllo di sanità prima ancora che un calcolo dettagliato. Prima di accettare il risultato di una simulazione, di una misura o di un esercizio, conviene chiedersi se la scala è plausibile: una pressione di 10^{12}\,\mathrm{Pa} in un circuito idraulico ordinario, una velocità maggiore della velocità della luce o una potenza domestica di 10^9\,\mathrm{W} segnalano quasi certamente un errore di unità, conversione o modello.
Nelle discipline fisiche il controllo di scala si combina con l’analisi dimensionale. Se una formula restituisce la dimensione corretta ma un ordine di grandezza assurdo, il problema può essere un coefficiente, una conversione o un’ipotesi non valida. Se restituisce una dimensione sbagliata, invece, la formula è strutturalmente incoerente.
Ordine ed errore
L’ordine di grandezza compare anche nello studio degli errori. Dire che un errore numerico è O(h^2) significa che, riducendo il passo h, l’errore dominante scala come il quadrato del passo. Dire che un termine è o(h^2) significa invece che è trascurabile rispetto a h^2 nel limite considerato.
In questo senso l’ordine di grandezza aiuta a decidere quali termini conservare in un modello. Se un contributo è mille volte più piccolo degli altri e l’incertezza sperimentale è più grande di quel contributo, tenerlo nel modello può dare una falsa impressione di precisione.
Errori comuni
Il primo errore è trattare l’ordine di grandezza come un valore esatto. Una stima di scala serve a orientare il ragionamento, non a sostituire il calcolo quando servono tolleranze strette.
Il secondo errore è confondere stesso ordine e stessa equivalenza. Avere crescita comparabile non significa avere rapporto tendente a 1.
Il terzo errore è ignorare il regime. Una funzione può avere un certo ordine per x\to0 e un altro per x\to\infty. Per esempio x+x^2 è dell’ordine di x vicino a zero, ma dell’ordine di x^2 all’infinito.
Vedi anche: Equivalenza asintotica, Errore relativo, Sviluppo asintotico, Simboli di Landau, Limite.