Uno sviluppo asintotico rappresenta una funzione, vicino a un punto o all’infinito, mediante termini ordinati per importanza decrescente. A differenza di una semplice equivalenza asintotica, conserva più termini e quindi permette di gestire cancellazioni e stimare il resto.
In forma tipica:
dove:
nel limite considerato. Ogni termine successivo è trascurabile rispetto al precedente.
Esempio a zero
Per x\to0:
Il primo termine dà l’equivalenza \sin x\sim x. Il secondo termine diventa indispensabile se il primo si cancella:
quindi:
Differenza da una serie convergente
Uno sviluppo asintotico non deve necessariamente convergere alla funzione sommando infiniti termini. Serve soprattutto a descrivere i primi termini dominanti nel limite. Una serie di Taylor convergente è un caso favorevole; molte espansioni asintotiche utili in analisi applicata sono invece divergenti come serie infinita, ma molto accurate se troncate al punto giusto.
| Oggetto | Scopo |
|---|---|
| equivalente asintotico | primo termine dominante |
| sviluppo asintotico | più termini dominanti con resto controllato |
| serie convergente | rappresentazione tramite somma infinita entro un intervallo |
Uso operativo nei limiti
- Scegliere il limite: x\to0, x\to\infty, n\to\infty.
- Sviluppare numeratore e denominatore fino al primo termine non nullo dopo le cancellazioni.
- Conservare il resto con i simboli di Landau.
- Semplificare solo dopo avere verificato l’ordine dominante.
Errori comuni
- Fermarsi al primo equivalente quando i termini principali si cancellano.
- Usare uno sviluppo centrato in 0 per un limite all’infinito senza cambio di variabile.
- Trattare ogni sviluppo asintotico come una serie convergente.
- Troncare senza indicare il resto: senza o(\cdot) o O(\cdot) non è chiaro l’ordine dell’errore.
Vedi anche: Equivalenza asintotica, Simboli di Landau, Algebra degli o-piccoli, Formula di Taylor, Formula di Stirling.