Un campo è una struttura algebrica in cui si possono eseguire somma, sottrazione, prodotto e divisione per elementi non nulli con le stesse proprietà formali dell’aritmetica ordinaria. È l’ambiente astratto in cui numeri razionali, reali, complessi e alcune aritmetiche finite possono essere studiati con un linguaggio comune.
Nel lessico dell’algebra, il campo non è un “campo” fisico distribuito nello spazio: non indica una temperatura punto per punto, una velocità del fluido o un campo elettromagnetico. Indica invece l’insieme degli scalari ammessi e le regole con cui questi scalari si combinano.
Definizione formale
Un insieme K dotato di due operazioni, indicate con + e \cdot, è un campo se soddisfa tre condizioni fondamentali:
- (K,+) è un gruppo abeliano;
- (K\setminus\{0\},\cdot) è un gruppo abeliano;
- la moltiplicazione distribuisce rispetto alla somma:
La prima condizione significa che esistono uno zero additivo, l’opposto di ogni elemento e una somma associativa e commutativa. La seconda richiede un elemento unità 1, diverso da 0, e l’inverso moltiplicativo di ogni elemento non nullo. La terza condizione lega le due operazioni e permette di espandere, raccogliere e manipolare espressioni algebriche.
In forma operativa, per ogni a,b,c \in K valgono proprietà come:
Inoltre, se a\neq 0, esiste un elemento a^{-1} tale che:
Questa proprietà è ciò che distingue un campo da molte altre strutture algebriche: la divisione per un elemento non nullo è sempre possibile e resta interna alla struttura.
Esempi
Gli esempi più importanti sono:
- \mathbb Q, campo dei numeri razionali;
- \mathbb R, campo dei numeri reali;
- \mathbb C, campo dei numeri complessi;
- \mathbb F_p, campo finito con p elementi quando p è primo.
Nei razionali, nei reali e nei complessi si riconoscono le regole usuali del calcolo. Nei campi finiti, invece, l’aritmetica è modulare: gli elementi sono finiti, ma ogni elemento non nullo possiede comunque un inverso.
Un esempio elementare è \mathbb F_5, dove i calcoli si fanno modulo 5. In questo campo:
quindi 3 è l’inverso moltiplicativo di 2 modulo 5.
Non esempi
Gli interi \mathbb Z non formano un campo. L’elemento 2 non ha inverso moltiplicativo intero, perché non esiste un intero x tale che:
Anche l’insieme delle matrici quadrate non nulle, con il prodotto usuale, non è un campo: alcune matrici non hanno inversa e, in generale, il prodotto di matrici non è commutativo. Gli anelli quoziente \mathbb Z/n\mathbb Z sono campi solo quando n è primo; se n è composto compaiono divisori dello zero e la divisione non è sempre possibile.
Questi esempi mostrano perché la parola “campo” è più restrittiva di “insieme con operazioni”. Un anello può avere somma e prodotto, ma non richiede necessariamente la divisione per ogni elemento non nullo.
Caratteristica
La caratteristica di un campo misura quante volte bisogna sommare l’unità 1 con sé stessa per ottenere 0. Se non accade mai, il campo ha caratteristica zero. È il caso di \mathbb Q, \mathbb R e \mathbb C.
Nei campi finiti la caratteristica è invece un numero primo. In \mathbb F_p vale:
La caratteristica influenza profondamente l’algebra. In caratteristica 2, ad esempio, 1+1=0, e quindi il segno meno non si comporta come nell’aritmetica reale ordinaria. Questo dettaglio diventa decisivo in codifica, algebra computazionale, crittografia e teoria dei codici.
Ruolo in algebra lineare
In algebra lineare il campo fornisce gli scalari. Se V è uno spazio vettoriale su K, i coefficienti delle combinazioni lineari appartengono a K:
La scelta del campo non è un dettaglio formale. Può cambiare indipendenza lineare, diagonalizzabilità, presenza di autovalori e fattorizzazione del polinomio caratteristico. Una matrice con coefficienti reali può non avere autovalori reali; se la stessa matrice è considerata su \mathbb C, ogni matrice quadrata di ordine almeno uno ammette almeno un autovalore complesso.
Lo stesso insieme di vettori può quindi avere proprietà diverse a seconda del campo di base. Un sistema lineare su \mathbb R non è sempre equivalente allo stesso sistema su \mathbb F_p, perché cambiano sia l’aritmetica sia le nozioni di invertibilità e dipendenza.
Campo di base e polinomi
Molti risultati sui polinomi dipendono dal campo scelto. Su \mathbb C ogni polinomio non costante ha radici, perché \mathbb C è un campo algebricamente chiuso. Su \mathbb R, invece, il polinomio:
non ha radici reali. Su \mathbb C le sue radici sono i e -i. Questa differenza spiega perché, in algebra lineare e teoria delle equazioni, passare dai reali ai numeri complessi non è una semplice comodità notazionale, ma un cambiamento del campo di lavoro.
Anche la fattorizzazione dipende dal campo. Un polinomio irriducibile su un campo può diventare riducibile su un’estensione. Per questo si parla di campo di spezzamento, estensione di campi e chiusura algebrica.
Campi ordinati
Alcuni campi ammettono un ordine compatibile con somma e prodotto. Il campo reale \mathbb R è ordinato: ha senso confrontare due numeri e dire che uno è positivo, negativo o maggiore dell’altro.
Il campo complesso \mathbb C, invece, non ammette un ordine totale compatibile con le operazioni di campo. Si possono confrontare i moduli dei numeri complessi, ma non esiste un ordinamento naturale che rispetti simultaneamente somma e prodotto come accade nei reali.
Questa distinzione è importante quando una teoria usa disuguaglianze, positività, norme o limiti. Molti risultati analitici sono formulati sui reali proprio perché richiedono una struttura d’ordine oltre alla struttura di campo.
Distinzione dai campi fisici e geometrici
Nel linguaggio ingegneristico la parola “campo” compare anche in altri contesti. Un campo scalare associa un numero a ogni punto di un dominio, come temperatura o pressione. Un campo vettoriale associa un vettore, come velocità, forza o flusso. Il campo elettrico e il campo magnetico sono grandezze fisiche distribuite nello spazio.
La voce presente qui riguarda invece il campo algebrico: una struttura di scalari. Le due accezioni possono incontrarsi, ma non coincidono. Per esempio, un campo vettoriale può assumere valori in uno spazio vettoriale definito su \mathbb R o su \mathbb C; in quel caso \mathbb R o \mathbb C sono campi algebrici, mentre il campo vettoriale è una funzione definita su un dominio.
Errori comuni
Un errore frequente è usare “campo” come sinonimo generico di insieme numerico. Non ogni insieme numerico è un campo: gli interi non lo sono, e neppure i naturali. Per essere un campo servono chiusura delle operazioni, inversi additivi, inversi moltiplicativi dei non nulli e distributività.
Un secondo errore è dimenticare il campo di base quando un risultato dipende dagli scalari ammessi. Dire che una matrice è diagonalizzabile, che un polinomio ha radici o che una famiglia di vettori è indipendente può richiedere di specificare se si lavora su \mathbb R, su \mathbb C o su un campo finito.
Un terzo errore è confondere campo e gruppo. Un gruppo ha una sola operazione; un campo ne ha due, con proprietà forti e compatibili. La struttura di campo contiene gruppi al suo interno, ma non si riduce a un gruppo.
Vedi anche: Anello, Gruppo, Campi finiti, Campo algebricamente chiuso, Spazio vettoriale, Numeri complessi.