Un campo algebricamente chiuso è un campo in cui ogni polinomio non costante a coefficienti nel campo possiede almeno una radice nello stesso campo. In modo equivalente, ogni polinomio di grado positivo si fattorizza completamente in fattori lineari.
Se K è un campo, dire che K è algebricamente chiuso significa che per ogni polinomio:
esiste almeno un elemento \alpha\in K tale che:
Da questa proprietà segue, per divisioni successive, che un polinomio di grado n si può scrivere come:
con a\in K e \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K, contando le radici con molteplicità.
Esempio fondamentale
Il campo dei numeri complessi \mathbb C è algebricamente chiuso. Questo è precisamente il contenuto del teorema fondamentale dell’algebra: ogni polinomio complesso non costante ha radici complesse e si scompone in fattori lineari complessi.
Il campo dei numeri reali \mathbb R, invece, non è algebricamente chiuso. Il polinomio:
non ha radici reali, perché x^2\ge0 per ogni x\in\mathbb R. Passando a \mathbb C, le radici diventano i e -i.
Anche il campo dei razionali \mathbb Q non è algebricamente chiuso: il polinomio x^2-2 non ha radici razionali, pur avendole nei reali.
Perché conta
Lavorare in un campo algebricamente chiuso elimina l’ostacolo dell’esistenza delle radici. In algebra lineare, per esempio, una matrice quadrata complessa ha sempre almeno un autovalore, perché il suo polinomio caratteristico ha almeno una radice in \mathbb C.
Questa proprietà non implica che tutte le matrici siano diagonalizzabili: garantisce l’esistenza degli autovalori, non l’esistenza di una base di autovettori. La diagonalizzabilità dipende dalle molteplicità e dalla struttura degli autospazi.
In ingegneria, il passaggio ai complessi è naturale in controlli, segnali, vibrazioni, circuiti e sistemi dinamici: poli, zeri, frequenze complesse e modi normali vivono spesso nel piano complesso anche quando il sistema fisico ha coefficienti reali.
Chiusura algebrica
Ogni campo K ammette, in senso algebrico, un’estensione algebricamente chiusa chiamata chiusura algebrica. Per i reali, una chiusura algebrica è \mathbb C. Per i razionali, la chiusura algebrica contiene tutti i numeri complessi algebrici, cioè le radici complesse di polinomi non nulli a coefficienti razionali.
Il termine “chiuso” non va confuso con la chiusura topologica. Qui la chiusura riguarda le equazioni polinomiali: il campo contiene già tutte le soluzioni algebriche richieste dai suoi polinomi.
Errori comuni
Il primo errore è pensare che “algebricamente chiuso” significhi “completo” in senso metrico o topologico. \mathbb R è completo come spazio metrico, ma non è algebricamente chiuso.
Il secondo errore è credere che basti contenere molte radici. Un campo è algebricamente chiuso solo se ogni polinomio non costante a coefficienti nel campo ha radici nel campo.
Il terzo errore è confondere radici esistenti con radici calcolabili facilmente. La chiusura algebrica garantisce l’esistenza, non una formula chiusa o un algoritmo numericamente stabile per trovarle.
Vedi anche: Campo, Numeri complessi, Teorema fondamentale dell’algebra, Polinomio, Polinomio caratteristico.