Teorema Fondamentale dell’Algebra

Il Teorema Fondamentale dell’Algebra stabilisce che ogni polinomio non costante di grado $n$ a coefficienti complessi (o reali) possiede esattamente $n$ radici nel campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$, se contate con la loro molteplicità.

Enunciato

Dato un polinomio $P(z)$ della forma: $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$ con $a_n \neq 0$ e $n \geq 1$, esiste almeno un numero complesso $z_0$ tale che $P(z_0) = 0$.

Come conseguenza diretta del teorema di Ruffini, il polinomio può essere completamente fattorizzato in termini lineari: $P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2) \dots (z - z_n)$

Implicazioni per i Coefficienti Reali

Se i coefficienti del polinomio sono reali, le radici non reali compaiono sempre in coppie coniugate ($z$ e $\bar{z}$). Questo significa che ogni polinomio reale può essere scomposto nel prodotto di fattori reali di primo o secondo grado (con discriminante negativo).

Applicazione Ingegneristica

Il teorema garantisce la stabilità dell’analisi dei sistemi lineari.

• Sistemi di Controllo: Permette di determinare i poli di una funzione di trasferimento. La posizione di queste radici nel piano complesso determina la stabilità e la risposta dinamica del sistema.
• Filtri Digitali: La progettazione dei filtri si basa sulla corretta allocazione degli zeri e dei poli di polinomi caratteristici.
• Vibrazioni: Consente di trovare le frequenze naturali di oscillazione di sistemi a più gradi di libertà tramite il calcolo degli autovalori.