Polinomio

Un polinomio a coefficienti in un campo $K$ è un’espressione della forma:

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in K$

Il grado di $p$ è $n$ se $a_n \neq 0$; il coefficiente $a_n$ è detto coefficiente direttore. Il polinomio nullo ha grado $-\infty$ per convenzione.

Anello dei Polinomi $K[x]$

L’insieme di tutti i polinomi a coefficienti in $K$ con le operazioni di somma e prodotto è un anello commutativo unitario (anzi un dominio di integrità). Vedi: Strutture Algebriche.

Proprietà del grado:

• $\deg(p + q) \leq \max(\deg p, \deg q)$
• $\deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q$

Divisione e Algoritmo di Euclide

Per ogni $p, d \in K[x]$ con $d \neq 0$ esistono unici $q$ (quoziente) e $r$ (resto) tali che:

$p = d \cdot q + r, \quad \deg r < \deg d$

Vedi: Divisione tra Polinomi.

Il Massimo Comune Divisore $\gcd(p, q)$ si calcola con l’algoritmo di Euclide iterando la divisione. Vale l’identità di Bézout: esistono $u, v \in K[x]$ tali che $u \cdot p + v \cdot q = \gcd(p,q)$.

Radici e Teorema del Resto

$\alpha \in K$ è una radice (o zero) di $p$ se $p(\alpha) = 0$.

Teorema del resto: il resto della divisione di $p(x)$ per $(x - \alpha)$ è $p(\alpha)$.

Corollario (teorema di Ruffini): $(x - \alpha)$ divide $p(x)$ se e solo se $\alpha$ è radice di $p$.

La molteplicità di una radice $\alpha$ è il massimo intero $m$ tale che $(x-\alpha)^m \mid p(x)$. Un polinomio di grado $n$ ha al più $n$ radici contate con molteplicità.

Polinomi Irriducibili e Fattorizzazione

Un polinomio $p \in K[x]$ di grado $\geq 1$ è irriducibile su $K$ se non si può scrivere come prodotto di due polinomi di grado inferiore in $K[x]$.

Teorema di fattorizzazione unica: ogni polinomio non costante su $K$ si scrive in modo unico (a meno dell’ordine e di costanti moltiplicative) come prodotto di polinomi irriducibili.

Su $\mathbb{R}$: i polinomi irriducibili sono di grado 1 o di grado 2 con discriminante negativo.

Teorema Fondamentale dell’Algebra

Ogni polinomio di grado $n \geq 1$ a coefficienti in $\mathbb{C}$ ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (contate con molteplicità). $\mathbb{C}$ è quindi algebricamente chiuso.

Vedi: Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Applicazioni ingegneristiche

• Polinomio caratteristico: il calcolo degli autovalori di una matrice riduce a trovare le radici di un polinomio. Vedi: Polinomio Caratteristico.
• Filtri digitali: i filtri IIR e FIR si progettano tramite i poli e gli zeri del loro polinomio di trasferimento nel piano $z$.
• Interpolazione: la costruzione del polinomio interpolante di Lagrange e di Newton usa direttamente l’algebra dei polinomi. Vedi: Interpolazione di Lagrange.