Un polinomio a coefficienti in un campo K è un’espressione della forma:
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in K
Il grado di p è n se a_n \neq 0; il coefficiente a_n è detto coefficiente direttore. Il polinomio nullo ha grado -\infty per convenzione.
Anello dei Polinomi K[x]
L’insieme di tutti i polinomi a coefficienti in K con le operazioni di somma e prodotto è un anello commutativo unitario (anzi un dominio di integrità). Vedi: Strutture Algebriche.
Proprietà del grado:
- \deg(p + q) \leq \max(\deg p, \deg q)
- \deg(p \cdot q) = \deg p + \deg q
Divisione e Algoritmo di Euclide
Per ogni p, d \in K[x] con d \neq 0 esistono unici q (quoziente) e r (resto) tali che:
p = d \cdot q + r, \quad \deg r < \deg d
Vedi: Divisione tra Polinomi.
Il Massimo Comune Divisore \gcd(p, q) si calcola con l’algoritmo di Euclide iterando la divisione. Vale l’identità di Bézout: esistono u, v \in K[x] tali che u \cdot p + v \cdot q = \gcd(p,q).
Radici e Teorema del Resto
\alpha \in K è una radice (o zero) di p se p(\alpha) = 0.
Teorema del resto: il resto della divisione di p(x) per (x - \alpha) è p(\alpha).
Corollario (teorema di Ruffini): (x - \alpha) divide p(x) se e solo se \alpha è radice di p.
La molteplicità di una radice \alpha è il massimo intero m tale che (x-\alpha)^m \mid p(x). Un polinomio di grado n ha al più n radici contate con molteplicità.
Polinomi Irriducibili e Fattorizzazione
Un polinomio p \in K[x] di grado \geq 1 è irriducibile su K se non si può scrivere come prodotto di due polinomi di grado inferiore in K[x].
Teorema di fattorizzazione unica: ogni polinomio non costante su K si scrive in modo unico (a meno dell’ordine e di costanti moltiplicative) come prodotto di polinomi irriducibili.
Su \mathbb{R}: i polinomi irriducibili sono di grado 1 o di grado 2 con discriminante negativo.
Teorema Fondamentale dell’Algebra
Ogni polinomio di grado n \geq 1 a coefficienti in \mathbb{C} ha esattamente n radici in \mathbb{C} (contate con molteplicità). \mathbb{C} è quindi algebricamente chiuso.
Vedi: Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Applicazioni ingegneristiche
- Polinomio caratteristico: il calcolo degli autovalori di una matrice riduce a trovare le radici di un polinomio. Vedi: Polinomio Caratteristico.
- Filtri digitali: i filtri IIR e FIR si progettano tramite i poli e gli zeri del loro polinomio di trasferimento nel piano z.
- Interpolazione: la costruzione del polinomio interpolante di Lagrange e di Newton usa direttamente l’algebra dei polinomi. Vedi: Interpolazione di Lagrange.