Combinazione lineare — ingegnerismo.it

Una combinazione lineare è una somma pesata di vettori tramite coefficienti scalari. Dati vettori $v_1,\dots,v_k$ in uno spazio vettoriale su un campo $K$ , una loro combinazione lineare è un vettore della forma:

\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\cdots+\lambda_kv_k, \qquad \lambda_i\in K.

I coefficienti $\lambda_i$ sono scalari. Il risultato è ancora un vettore dello stesso spazio. La definizione è semplice, ma attraversa quasi tutta l’algebra lineare: generazione di sottospazi, indipendenza lineare, basi, coordinate, sistemi lineari, approssimazione e metodi numerici.

Span

L’insieme di tutte le combinazioni lineari di una famiglia di vettori è detto span, o sottospazio generato:

\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k) = \left\{ \sum_{i=1}^{k}\lambda_i v_i: \lambda_i\in K \right\}.

Lo span contiene tutti e soli i vettori raggiungibili combinando linearmente i vettori dati. Se lo span coincide con l’intero spazio, la famiglia è un sistema di generatori. Se lo span è più piccolo, i vettori descrivono solo un sottospazio.

Sistemi lineari

La combinazione lineare è il linguaggio geometrico dei sistemi lineari. Se $A$ è una matrice con colonne $a_1,\ldots,a_n$ , il prodotto $Ax$ può essere scritto come:

Ax=x_1a_1+\cdots+x_na_n.

Risolvere:

Ax=b

significa quindi chiedere se il vettore $b$ appartiene allo span delle colonne di $A$ . Se sì, i coefficienti della combinazione sono le componenti della soluzione $x$ . Se no, il sistema è incompatibile; nei minimi quadrati si cerca allora il vettore dello span delle colonne più vicino a $b$ .

Indipendenza lineare

Una famiglia di vettori è linearmente indipendente se l’unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli:

\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_kv_k=0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1=\cdots=\lambda_k=0.

Se esiste una combinazione non banale che dà zero, almeno un vettore è ridondante: può essere espresso come combinazione lineare degli altri. Questo concetto è alla base della nozione di base: una base è una famiglia indipendente che genera lo spazio.

Coordinate

Quando $v_1,\ldots,v_n$ formano una base, ogni vettore $v$ dello spazio si scrive in modo unico come:

v=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n.

Gli scalari $\lambda_i$ sono le coordinate di $v$ rispetto a quella base. Cambiare base significa cambiare il modo in cui lo stesso vettore viene espresso come combinazione lineare di generatori diversi. Il vettore geometrico resta lo stesso; cambiano i coefficienti.

Funzioni e segnali

Il concetto non riguarda solo vettori geometrici in $\mathbb R^n$ . Anche funzioni, polinomi, segnali e soluzioni di equazioni differenziali possono formare spazi vettoriali. Approssimare una funzione con una serie di Fourier, un polinomio interpolante o una combinazione di funzioni di base significa scrivere:

f(x)\approx c_1\phi_1(x)+\cdots+c_m\phi_m(x).

In metodi agli elementi finiti, interpolazione, regressione lineare e decomposizioni spettrali, la scelta delle funzioni di base e dei coefficienti determina la qualità dell’approssimazione.

Interpretazione ingegneristica

Molti modelli ingegneristici sono costruiti come sovrapposizione di contributi elementari. Una forza risultante può essere combinazione di forze applicate; un segnale può essere somma pesata di armoniche; una deformata può essere approssimata come combinazione di modi; una previsione lineare è combinazione delle feature tramite coefficienti.

La linearità è potente perché consente scomposizione e ricomposizione. Se il sistema è lineare, si può studiare la risposta a ingressi elementari e combinarle per ottenere la risposta a un ingresso più complesso. Questo principio è alla base di molta analisi strutturale, controllo, circuiti e segnali.

Errori comuni

Il primo errore è pensare che una combinazione lineare richieda coefficienti positivi. In generale gli scalari possono essere negativi, nulli o complessi, a seconda del campo. Se si impone che i coefficienti siano positivi e sommino a uno, si parla di combinazione convessa, che è un concetto più specifico.

Il secondo errore è confondere generazione e indipendenza. Molti vettori possono generare uno spazio anche se sono ridondanti; pochi vettori possono essere indipendenti ma non sufficienti a generarlo tutto. Il terzo errore è dimenticare lo spazio di riferimento: lo stesso insieme di oggetti può avere proprietà diverse a seconda del campo e delle operazioni ammesse.

La combinazione lineare è quindi la nozione elementare che rende possibile trattare vettori, funzioni, segnali e dati con un linguaggio comune di coefficienti, basi e sottospazi.