Un’onda stazionaria è una configurazione ondulatoria che oscilla nel tempo ma non trasla nello spazio. Si forma quando due onde progressive con stessa frequenza, stessa ampiezza e versi opposti si sovrappongono in modo coerente, tipicamente perché un’onda incidente viene riflessa da un vincolo o da una discontinuità.
Il risultato presenta nodi, punti che restano fermi, e ventri, punti in cui l’ampiezza di oscillazione è massima. Questa struttura è alla base di corde musicali, tubi sonori, cavità risonanti, antenne, linee di trasmissione, modi normali e molti problemi di vibrazione.
Il fenomeno nasce dal principio di sovrapposizione: nei sistemi lineari le perturbazioni si sommano, e la somma può produrre rinforzo in alcuni punti e cancellazione in altri.
Formazione matematica
Consideriamo due onde armoniche uguali che viaggiano in versi opposti:
La somma è:
Usando l’identità trigonometrica per la somma dei seni:
La parte:
determina l’ampiezza spaziale punto per punto, mentre:
descrive l’oscillazione temporale comune. A differenza di un’onda progressiva, non compare un termine del tipo kx-\omega t che trasporta il profilo lungo l’asse.
Nodi e ventri
I nodi sono i punti in cui l’ampiezza spaziale è nulla:
Poiché:
le posizioni dei nodi sono:
I ventri sono i punti in cui il modulo dell’ampiezza spaziale è massimo:
Quindi:
La distanza tra due nodi consecutivi è \lambda/2; la distanza tra un nodo e il ventre più vicino è \lambda/4.
Corda fissata agli estremi
Una corda di lunghezza L fissata a entrambi gli estremi deve avere nodi in:
Questa condizione seleziona solo alcune lunghezze d’onda. La corda deve contenere un numero intero di mezze lunghezze d’onda:
Da cui:
Le frequenze ammesse sono:
Il modo n=1 è la fondamentale; i modi successivi sono armoniche. Su una corda ideale fissata-fissata compaiono tutte le armoniche intere:
La velocità dell’onda sulla corda dipende dalla tensione T e dalla densità lineare \mu:
Per questo una corda più tesa suona più acuta, mentre una corda più pesante a parità di tensione suona più grave.
Modi normali
Ogni configurazione stazionaria compatibile con le condizioni al contorno è un modo normale. Per una corda ideale:
Il numero n determina il numero di ventri e nodi:
| Armonica | Ventri | Nodi, estremi inclusi |
|---|---|---|
| n=1 | 1 | 2 |
| n=2 | 2 | 3 |
| n=3 | 3 | 4 |
| n | n | n+1 |
Un moto reale può essere somma di più modi. In una corda pizzicata, per esempio, la forma iniziale non è sinusoidale pura: si decompone in una combinazione di armoniche, ciascuna con la propria ampiezza.
Tubi sonori
Nei tubi sonori bisogna distinguere tra spostamento dell’aria e pressione acustica. Un’estremità aperta è, in prima approssimazione, un ventre di spostamento e un nodo di pressione; un’estremità chiusa è un nodo di spostamento e un ventre di pressione.
Per un tubo aperto-aperto:
Per un tubo chiuso-chiuso ideale, rispetto allo spostamento, la formula è la stessa:
Per un tubo aperto-chiuso, invece, la lunghezza contiene un quarto d’onda nella fondamentale:
Le frequenze ammesse sono:
In un tubo aperto-chiuso compaiono solo armoniche dispari. Questa è la differenza fisica tra una canna aperta e una canna chiusa, o tra strumenti con condizioni acustiche diverse agli estremi.
Tabella operativa
| Sistema ideale | Condizioni al contorno | Frequenze ammesse |
|---|---|---|
| corda fissata-fissata | nodo-nodo | \displaystyle f_n=n\dfrac{v}{2L} |
| tubo aperto-aperto | ventre-ventre di spostamento | \displaystyle f_n=n\dfrac{v}{2L} |
| tubo chiuso-chiuso | nodo-nodo di spostamento | \displaystyle f_n=n\dfrac{v}{2L} |
| tubo aperto-chiuso | ventre-nodo di spostamento | \displaystyle f_n=(2n-1)\dfrac{v}{4L} |
La tabella è utile solo se si dichiara quale grandezza si sta osservando. Per l’acustica, pressione e spostamento hanno nodi e ventri scambiati.
Risonanza
Un’onda stazionaria stabile compare quando la frequenza di eccitazione è compatibile con una frequenza propria del sistema. Questo è il legame con la risonanza: se si forza una corda, una membrana, una colonna d’aria o una cavità alla frequenza giusta, il modo corrispondente si rinforza.
Se la frequenza non soddisfa le condizioni al contorno, l’onda riflessa non si ricombina in modo persistente con quella incidente. Si possono osservare transitori, battimenti o interferenze variabili, ma non una figura stazionaria stabile.
Lo smorzamento limita l’ampiezza dei modi. In un sistema reale i nodi possono non essere perfettamente fermi, i ventri possono avere ampiezza finita e le frequenze possono essere leggermente spostate da attrito, perdite, elasticità dei vincoli o geometria non ideale.
Energia e flusso medio
In un’onda progressiva ideale l’energia viaggia con l’onda. In un’onda stazionaria ideale, invece, il flusso medio netto di energia lungo la direzione dell’onda è nullo: l’energia oscilla localmente tra forma cinetica e forma potenziale, oppure tra campi elettrici e magnetici nei casi elettromagnetici.
Questo non significa che non ci sia energia. Nei ventri l’ampiezza del moto è massima; nei nodi lo spostamento è nullo, ma altre grandezze possono non esserlo. In acustica, per esempio, un nodo di spostamento può coincidere con un ventre di pressione.
La distinzione è importante in strumenti musicali, cavità, linee di trasmissione e antenne: la forma stazionaria segnala energia immagazzinata nel sistema, non necessariamente energia trasportata lontano.
Applicazioni
Le onde stazionarie compaiono in molti contesti:
- corde di strumenti musicali, dove tensione, lunghezza e densità determinano le note;
- tubi sonori e canne d’organo, dove le condizioni aperto/chiuso selezionano le armoniche;
- cavità acustiche e meccaniche, dove i modi determinano risonanze e distribuzioni di pressione;
- vibrazioni strutturali, dove modi e nodi guidano analisi modale e prove sperimentali;
- linee di trasmissione, dove riflessioni e adattamento di impedenza generano massimi e minimi di tensione o corrente;
- cavità elettromagnetiche, laser e guide d’onda, dove la geometria seleziona modi permessi.
In tutti questi casi, la domanda pratica è la stessa: quali condizioni al contorno impone il sistema e quali frequenze sono compatibili con esse?
Errori comuni
- Confondere onda stazionaria e onda progressiva: nella stazionaria il profilo non trasla.
- Pensare che i nodi siano sempre assenza di ogni grandezza fisica: dipende dalla variabile osservata.
- Dimenticare che le condizioni al contorno determinano le frequenze ammesse.
- Usare la formula della corda fissata-fissata per un tubo aperto-chiuso.
- Confondere armonica fondamentale e armoniche superiori.
- Contare i nodi senza includere o escludere correttamente gli estremi.
- Ignorare smorzamento, attrito, correzione d’estremità nei tubi e vincoli non ideali.
- Interpretare una forte ampiezza in un punto come trasporto netto di energia lungo il sistema.