Quando due onde identiche si propagano in versi opposti (per esempio un’onda e la sua riflessa) si forma un’onda stazionaria, con punti fermi (nodi) e punti di massima oscillazione (ventri). Su una corda fissa ai due estremi (lunghezza L) si instaurano solo le lunghezze d’onda per cui L è multiplo di \lambda/2, dando le frequenze proprie (armoniche):
f_n=n\dfrac{v}{2L},\qquad n=1,2,3,\dots
Nei tubi sonori la condizione cambia a seconda che gli estremi siano aperti (ventre) o chiusi (nodo). La risonanza si ha quando la frequenza di eccitazione coincide con una frequenza propria.
1. Frequenza fondamentale di una corda
Esercizio. Una corda di chitarra (L=0{,}65\ \text{m}) ha velocità d’onda v=260\ \text{m/s}. Quale frequenza fondamentale?
La fondamentale (n=1) è:
f_1=\dfrac{v}{2L}=\dfrac{260}{2\times0{,}65}=\dfrac{260}{1{,}3}=200\ \text{Hz}.
2. Armoniche superiori
Esercizio. Per la stessa corda (f_1=200\ \text{Hz}), quali sono la seconda e la terza armonica?
Le armoniche sono multipli interi della fondamentale (f_n=nf_1):
f_2=2\times200=400\ \text{Hz},\qquad f_3=3\times200=600\ \text{Hz}.
La corda fissa ai due estremi produce tutte le armoniche (pari e dispari).
3. Lunghezza d’onda dei modi
Esercizio. Per la corda (L=0{,}65\ \text{m}), quale lunghezza d’onda della fondamentale e della seconda armonica?
Dalla condizione L=n\lambda/2, cioè \lambda_n=2L/n:
\lambda_1=2L=1{,}30\ \text{m},\qquad \lambda_2=L=0{,}65\ \text{m}.
La fondamentale ha un solo ventre (mezza lunghezza d’onda sulla corda).
4. Frequenza da tensione e densità
Esercizio. Una corda (L=0{,}80\ \text{m}, \mu=4{,}0\times10^{-3}\ \text{kg/m}) è tesa con T=160\ \text{N}. Quale frequenza fondamentale?
Passo 1 — velocità d’onda. v=\sqrt{T/\mu}=\sqrt{160/4{,}0\times10^{-3}}=\sqrt{40\,000}=200\ \text{m/s}.
Passo 2 — fondamentale. f_1=v/(2L)=200/(2\times0{,}80)=125\ \text{Hz}.
5. Accordatura — tensione per una nota
Esercizio. Quale tensione serve perché la corda precedente (L=0{,}80\ \text{m}, \mu=4{,}0\times10^{-3}\ \text{kg/m}) suoni a f_1=150\ \text{Hz}?
Passo 1 — velocità richiesta. v=2Lf_1=2\times0{,}80\times150=240\ \text{m/s}.
Passo 2 — tensione.
Aumentando la tensione la nota sale (corda più “tesa” = più acuta).
6. Numero di nodi e ventri
Esercizio. Una corda fissa ai due estremi vibra nella quarta armonica (n=4). Quanti nodi e quanti ventri?
Per l’armonica n ci sono n ventri e n+1 nodi (inclusi i due estremi fissi):
\text{ventri}=4,\qquad \text{nodi}=5.
7. Tubo aperto a entrambi gli estremi
Esercizio. Un tubo aperto-aperto lungo L=0{,}50\ \text{m} (velocità del suono v=340\ \text{m/s}). Quale fondamentale e quali armoniche?
Il tubo aperto-aperto ha ventri ai due estremi, come la corda: f_n=nv/(2L), con tutte le armoniche:
f_1=\dfrac{340}{2\times0{,}50}=340\ \text{Hz},\quad f_2=680\ \text{Hz},\quad f_3=1020\ \text{Hz}.
8. Tubo chiuso a un estremo
Esercizio. Un tubo chiuso a un estremo lungo L=0{,}50\ \text{m} (v=340\ \text{m/s}). Quale fondamentale e quali armoniche?
Il tubo chiuso ha un nodo all’estremo chiuso e un ventre all’aperto: entra solo \lambda/4, e sono presenti solo le armoniche dispari, f_n=nv/(4L) con n=1,3,5,\dots:
f_1=\dfrac{340}{4\times0{,}50}=170\ \text{Hz},\quad f_3=3\times170=510\ \text{Hz},\quad f_5=5\times170=850\ \text{Hz}.
A parità di lunghezza, il tubo chiuso suona un’ottava più in basso del tubo aperto.
9. Lunghezza di una canna d’organo
Esercizio. Quale lunghezza deve avere una canna d’organo chiusa per dare la nota fondamentale f_1=110\ \text{Hz} (v=340\ \text{m/s})?
Per il tubo chiuso f_1=v/(4L), quindi:
L=\dfrac{v}{4f_1}=\dfrac{340}{4\times110}=0{,}773\ \text{m}\approx77\ \text{cm}.
10. Risonanza in un tubo con acqua (esperimento classico)
Esercizio. Un diapason a f=512\ \text{Hz} (v=340\ \text{m/s}) eccita un tubo chiuso la cui lunghezza si regola con il livello dell’acqua. A quali lunghezze minime si ha risonanza?
Le risonanze si hanno quando L=n\lambda/4 (n dispari). Con \lambda=v/f=340/512=0{,}664\ \text{m}:
L_1=\dfrac{\lambda}{4}=0{,}166\ \text{m},\qquad L_3=\dfrac{3\lambda}{4}=0{,}498\ \text{m}.
Le prime due risonanze sono a circa 17\ \text{cm} e 50\ \text{cm}, distanti \lambda/2=33\ \text{cm}.
11. Correzione d’estremità in un tubo aperto
Esercizio. Un tubo aperto a un’estremità ha lunghezza fisica L=0{,}50\ \text{m} e raggio r=1{,}0\ \text{cm}. Stimare la fondamentale considerando la correzione d’estremità 0{,}6r.
Per un tubo chiuso-aperto, la lunghezza efficace è:
Qui:
La fondamentale è:
Senza correzione avremmo 170\ \text{Hz}. La correzione è piccola ma importante per accordatura precisa di strumenti a fiato.
12. Modo di vibrazione da frequenza osservata
Esercizio. Una corda lunga L=1{,}2\ \text{m} ha velocità d’onda v=240\ \text{m/s} e vibra a f=300\ \text{Hz}. Quale armonica è?
La fondamentale è:
Poiché
si ha:
La corda vibra nella terza armonica, con tre ventri e quattro nodi.
13. Risonanza e larghezza di banda
Esercizio. Un sistema risonante ha frequenza centrale f_0=1000\ \text{Hz} e fattore di qualità Q=50. Stimare la larghezza di banda.
Il fattore di qualità è:
Quindi:
Un Q alto significa risonanza stretta: il sistema risponde fortemente solo in un intervallo piccolo di frequenze attorno a f_0.
Sintesi
| Sistema | Frequenze proprie | Armoniche |
|---|---|---|
| Corda fissa-fissa | f_n=n\,v/(2L) | tutte (n=1,2,3\dots) |
| Tubo aperto-aperto | f_n=n\,v/(2L) | tutte |
| Tubo chiuso-aperto | f_n=n\,v/(4L) | solo dispari (n=1,3,5\dots) |
| Lunghezza d’onda dei modi | \lambda_n=2L/n (corda/aperto) | — |
| Fattore di qualità | Q=f_0/\Delta f | risonanza stretta se Q alto |
Errori da evitare:
- usare 2L al denominatore anche per il tubo chiuso (è 4L, e solo armoniche dispari);
- dimenticare che il tubo chiuso non ha le armoniche pari;
- confondere il numero di nodi e ventri (per l’armonica n su corda: n ventri, n+1 nodi);
- credere che la frequenza dipenda solo dalla lunghezza: dipende anche da v, cioè da T e \mu (corda) o dal mezzo (tubo).
- ignorare la correzione d’estremità nei tubi aperti quando serve precisione;
- confondere frequenza di risonanza e larghezza di banda.