Il raggio spettrale di una matrice quadrata misura quanto gli autovalori si estendono lontano dall’origine nel piano complesso. È una quantità compatta ma molto informativa: controlla la convergenza di metodi iterativi, il comportamento di potenze di matrici e la stabilità di sistemi dinamici discreti.
Definizione
Per una matrice quadrata A, il raggio spettrale è
dove \lambda_i sono gli autovalori di A, contati con la loro molteplicità algebrica.
Se tutti gli autovalori stanno dentro il disco unitario, allora
Se almeno un autovalore ha modulo maggiore di uno, allora \rho(A)>1.
Interpretazione dinamica
Nel sistema discreto lineare
le potenze A^k determinano l’evoluzione. Se A è diagonalizzabile, ogni componente lungo un autovettore viene moltiplicata a ogni passo per il corrispondente autovalore. Il modulo dell’autovalore decide se quella componente decade, resta costante o cresce.
In termini pratici:
- |\lambda|<1 produce decadimento;
- |\lambda|=1 richiede attenzione, perché può produrre oscillazioni o persistenza;
- |\lambda|>1 produce crescita.
Il raggio spettrale raccoglie il caso peggiore.
Convergenza di metodi iterativi
Nei metodi iterativi lineari per sistemi algebrici si incontra una ricorrenza del tipo
dove B è la matrice di iterazione. La convergenza per ogni dato iniziale richiede
Questa condizione compare nello studio del metodo di Jacobi, del metodo di Gauss-Seidel e di molte procedure stazionarie. Se \rho(B) è vicino a 1, la convergenza può essere molto lenta anche se teoricamente garantita.
Relazione con le norme
Per qualunque norma matriciale compatibile vale
Questa disuguaglianza è utile perché il raggio spettrale può essere difficile da calcolare esattamente, mentre una norma può fornire una stima superiore. Tuttavia la norma può sovrastimare: una matrice può avere norma grande e raggio spettrale più piccolo.
In analisi numerica si usano spesso stime del raggio spettrale per valutare la contrazione effettiva di un metodo.
Calcolo
Il raggio spettrale può essere ottenuto calcolando gli autovalori, ma per matrici grandi si preferiscono metodi iterativi. Il metodo delle potenze approssima l’autovalore dominante quando questo è ben separato dagli altri.
Per matrici sparse o di grandi dimensioni, stimare il raggio spettrale è spesso più importante che conoscere tutto lo spettro.
Errori comuni
Un errore frequente è confondere raggio spettrale e norma euclidea della matrice. La norma euclidea riguarda vettori; le norme matriciali misurano amplificazioni, mentre il raggio spettrale guarda solo agli autovalori.
Un secondo errore è pensare che \rho(A)<1 implichi sempre decadimento monotono di ogni norma a ogni passo. La tendenza asintotica è al decadimento, ma matrici non normali possono produrre crescite transitorie.
Infine, in problemi numerici reali non basta sapere se \rho(B)<1: anche la distanza da 1 conta, perché determina la rapidità della convergenza. Per esercizi collegati, vedi metodi iterativi per sistemi lineari.