Le radici dell’unità sono le soluzioni complesse dell’equazione
Per ogni intero n\ge 1 esistono esattamente n soluzioni distinte nel campo dei numeri complessi. Sono numeri di modulo unitario, distribuiti uniformemente sul cerchio unitario, e rappresentano le rotazioni che, ripetute n volte, riportano il punto di partenza su 1.
Con la formula di Eulero e la formula di De Moivre, le soluzioni sono
L’indice k non produce nuove radici oltre questo intervallo, perché gli angoli che differiscono di un multiplo di 2\pi individuano lo stesso punto del piano complesso.
Interpretazione geometrica
Le radici dell’unità sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nel cerchio unitario e centrato nell’origine. L’angolo fra due radici consecutive è
Per n=3 si ottiene il triangolo equilatero
Per n=4 si ottengono i quattro punti cardinali del piano complesso:
La lettura geometrica è spesso più importante della formula: moltiplicare per una radice dell’unità significa applicare una rotazione discreta. Se \omega=e^{2\pi i/n}, allora moltiplicare per \omega ruota di 2\pi/n, moltiplicare per \omega^2 ruota di 4\pi/n, e così via.
Proprietà algebriche
Le radici dell’unità sono le radici del polinomio
Di conseguenza il polinomio si fattorizza come
Le proprietà operative più usate sono:
| Proprietà | Formula |
|---|---|
| Modulo unitario | $\displaystyle |
| Periodicità degli indici | \displaystyle \omega_{k+n}=\omega_k |
| Potenza n-esima | \displaystyle \omega_k^n=1 |
| Chiusura per prodotto | \displaystyle \omega_a\omega_b=\omega_{a+b} |
| Inverso | \displaystyle \omega_k^{-1}=\omega_{n-k}=\overline{\omega_k} |
| Somma delle radici | \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\omega_k=0 per \displaystyle n>1 |
La somma nulla discende dalla simmetria geometrica, ma anche dalla somma di una progressione geometrica:
Questa cancellazione è la base di molte identità in analisi armonica discreta: componenti equispaziate sul cerchio unitario si annullano quando coprono un giro completo.
Radici primitive
La radice
è detta radice primitiva n-esima quando le sue potenze generano tutte le radici:
Più in generale, \omega_k è primitiva se e solo se k e n sono coprimi. Le radici primitive sono quelle che non ripetono un ciclo più breve: hanno ordine esattamente n.
Per esempio, con n=6 la radice \omega_2=e^{4\pi i/6}=e^{2\pi i/3} non è primitiva sesta, perché le sue potenze generano solo tre valori distinti. Invece \omega_1 e \omega_5 sono primitive, perché attraversano tutte le sei radici prima di tornare a 1.
Questa distinzione è utile quando si studiano simmetrie cicliche, sottogruppi finiti del cerchio unitario, sequenze periodiche e fattorizzazioni algebriche.
Collegamento con radici complesse
Le radici dell’unità sono il caso base delle radici complesse. Se si vuole risolvere
e se z=\rho e^{i\theta}, allora una radice particolare è
Tutte le altre radici si ottengono moltiplicando w_0 per le radici dell’unità:
Questo spiega perché le radici di un numero complesso qualunque sono ancora disposte su un poligono regolare: il raggio cambia, l’orientamento cambia, ma la struttura angolare è quella delle radici dell’unità.
Ortogonalità discreta
Una proprietà fondamentale per segnali e trasformate discrete è l’ortogonalità delle potenze di una radice primitiva. Se \omega=e^{2\pi i/n}, allora
Questa identità dice che una rotazione completata esattamente in un numero intero di giri si somma costruttivamente, mentre una rotazione non allineata si cancella. È il cuore algebrico della decomposizione di una sequenza periodica in modi armonici discreti.
Nella trasformata discreta di Fourier si usa spesso il fattore
con segno negativo per convenzione nell’analisi. Le potenze di W_N campionano uniformemente il cerchio unitario e permettono di proiettare una sequenza su frequenze discrete. La trasformata di Fourier continua lavora su frequenze continue; la DFT usa invece un insieme finito di radici dell’unità.
Uso ingegneristico
| Ambito | Ruolo delle radici dell’unità |
|---|---|
| DFT e FFT | definiscono i coefficienti complessi che campionano frequenze discrete |
| Convoluzione periodica | diagonalizzano operatori ciclici e matrici circolanti |
| Filtri digitali | collocano zeri e poli nel piano complesso, spesso sul cerchio unitario |
| Trasformata Z | collegano sequenze periodiche e punti del piano z |
| Sistemi trifase | rappresentano tre fasi sfasate di 120^\circ, cioè le radici cubiche dell’unità |
| Crittografia e algebra computazionale | entrano in algoritmi su polinomi, trasformate finite e aritmetica modulare |
Nel caso trifase equilibrato, le tre fasi ideali corrispondono a
La loro somma è zero: questo rappresenta algebricamente il bilanciamento delle tre grandezze sinusoidali sfasate di un terzo di periodo.
Errori comuni
Il primo errore è dimenticare che le radici sono n, non una sola. Nel campo reale alcune equazioni hanno poche soluzioni visibili; nel campo complesso l’equazione z^n=1 produce sempre n soluzioni distinte.
Il secondo errore è contare più volte la stessa radice usando angoli equivalenti: e^{i\theta} ed e^{i(\theta+2\pi)} rappresentano lo stesso punto.
Il terzo errore è confondere radice primitiva e radice qualunque. Tutte soddisfano \omega_k^n=1, ma solo quelle con indice coprimo con n generano l’intero insieme.
Il quarto errore è perdere la convenzione del segno nella DFT. Alcuni testi usano e^{-2\pi i/N} nell’analisi e e^{+2\pi i/N} nella sintesi; altri invertono la scelta. La geometria delle radici resta la stessa, cambia il verso di rotazione.
Vedi anche: formula di De Moivre, formula di Eulero, radici complesse, argomento di un numero complesso, modulo di un numero complesso, cerchio unitario e fasore.