Formula di De Moivre

La formula di De Moivre fornisce un metodo semplice e diretto per calcolare le potenze di un numero complesso espresso in forma trigonometrica.

Enunciato (Potenze)

Dato un numero complesso $z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)$, la sua potenza $n$-esima è: $z^n = \rho^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$ Questa formula è estremamente potente perché trasforma un’operazione di elevamento a potenza in una semplice moltiplicazione dell’argomento.

Radici $n$-esime

Il teorema di De Moivre permette anche di trovare le $n$ radici distinte di un numero complesso: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{\rho} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)$ con $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Significato Ingegneristico

• Stabilità dei Sistemi: Nel calcolo dei poli di un sistema discreto ($Z$-transform), la posizione delle radici unitarie (ottenute tramite De Moivre) determina la stabilità.
• Distribuzione dell’Energia: Nello studio delle armoniche in sistemi trifase, le fasi dei vettori sono regolate dalle radici dell’unità.
• Filtri Digitali: La progettazione dei filtri passa-banda e blocca-banda si basa sulla posizione degli zeri e dei poli nel piano complesso, spesso calcolati tramite questa formula.