La trasformata di Fourier è l’estensione della serie di Fourier a funzioni non periodiche. Essa permette di analizzare il contenuto in frequenza di un segnale transitorio, fornendo uno spettro continuo.
Definizione
Per una funzione f(t) integrabile, la trasformata \hat{f}(\omega) è: \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt La funzione originale può essere ricostruita tramite la trasformata inversa: f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega
Proprietà
- Dualità: Il comportamento nel tempo è strettamente legato a quello in frequenza (es. un segnale stretto nel tempo ha uno spettro largo).
- Teorema della Convoluzione: La convoluzione nel tempo corrisponde al prodotto nel dominio della frequenza. Questa è la base per l’analisi dei sistemi lineari stazionari (LTI).
Significato Ingegneristico
- Elaborazione dei Segnali: Analisi spettrale, filtraggio digitale, rimozione del rumore e modulazione per trasmissioni radio.
- Ottica: Diffrazione della luce e formazione delle immagini in sistemi ottici (trasformata spaziale).
- Cristallografia: Determinazione della struttura atomica dei cristalli tramite diffrazione di raggi X.
- Elaborazione Immagini: Compressione e rilevamento di bordi (edges) tramite trasformate 2D.
Proprietà Fondamentali
| Proprietà | Operazione su f | Effetto su \hat{f} |
|---|---|---|
| Linearità | af + bg | a\hat{f} + b\hat{g} |
| Traslazione | f(x - x_0) | e^{-2\pi i \xi x_0}\hat{f}(\xi) |
| Modulazione | e^{2\pi i \xi_0 x}f(x) | \hat{f}(\xi - \xi_0) |
| Scaling | f(ax) | \frac{1}{\lvert a\rvert}\hat{f}(\xi/a) |
| Derivazione | f^{(n)}(x) | (2\pi i \xi)^n \hat{f}(\xi) |
| Convoluzione | (f * g)(x) | \hat{f}(\xi)\cdot\hat{g}(\xi) |
Teorema di Inversione e Plancherel
Per f, \hat{f} \in L^1(\mathbb{R}): f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)\,e^{2\pi i \xi x}\,d\xi.
Identità di Plancherel (in L^2): \|f\|_{L^2} = \|\hat{f}\|_{L^2} — la trasformata è un’isometria.
Principio di Indeterminazione
Un segnale non può essere simultaneamente concentrato nel dominio del tempo e in quello delle frequenze: \sigma_x \cdot \sigma_\xi \geq \frac{1}{4\pi} (principio di Heisenberg).
Tavola delle Trasformate Notevoli
| f(x) | \hat{f}(\xi) |
|---|---|
| e^{-\pi x^2} (gaussiana) | e^{-\pi \xi^2} |
| \text{rect}(x) | \text{sinc}(\xi) |
| \delta(x) | 1 |
| e^{-a\lvert x\rvert} (a>0) | \frac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi^2} |