Trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier è l’estensione della serie di Fourier a funzioni non periodiche. Essa permette di analizzare il contenuto in frequenza di un segnale transitorio, fornendo uno spettro continuo.

Definizione

Per una funzione $f(t)$ integrabile, la trasformata $\hat{f}(\omega)$ è: $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt$ La funzione originale può essere ricostruita tramite la trasformata inversa: $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega$

Proprietà

• Dualità: Il comportamento nel tempo è strettamente legato a quello in frequenza (es. un segnale stretto nel tempo ha uno spettro largo).
• Teorema della Convoluzione: La convoluzione nel tempo corrisponde al prodotto nel dominio della frequenza. Questa è la base per l’analisi dei sistemi lineari stazionari (LTI).

Significato Ingegneristico

• Elaborazione dei Segnali: Analisi spettrale, filtraggio digitale, rimozione del rumore e modulazione per trasmissioni radio.
• Ottica: Diffrazione della luce e formazione delle immagini in sistemi ottici (trasformata spaziale).
• Cristallografia: Determinazione della struttura atomica dei cristalli tramite diffrazione di raggi X.
• Elaborazione Immagini: Compressione e rilevamento di bordi (edges) tramite trasformate 2D.

Proprietà Fondamentali

Proprietà	Operazione su $f$	Effetto su $\hat{f}$
Linearità	$af + bg$	$a\hat{f} + b\hat{g}$
Traslazione	$f(x - x_0)$	$e^{-2\pi i \xi x_0}\hat{f}(\xi)$
Modulazione	$e^{2\pi i \xi_0 x}f(x)$	$\hat{f}(\xi - \xi_0)$
Scaling	$f(ax)$	$\frac{1}{\lvert a\rvert}\hat{f}(\xi/a)$
Derivazione	$f^{(n)}(x)$	$(2\pi i \xi)^n \hat{f}(\xi)$
Convoluzione	$(f * g)(x)$	$\hat{f}(\xi)\cdot\hat{g}(\xi)$

Teorema di Inversione e Plancherel

Per $f, \hat{f} \in L^1(\mathbb{R})$: $f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)\,e^{2\pi i \xi x}\,d\xi$.

Identità di Plancherel (in $L^2$): $\|f\|_{L^2} = \|\hat{f}\|_{L^2}$ — la trasformata è un’isometria.

Principio di Indeterminazione

Un segnale non può essere simultaneamente concentrato nel dominio del tempo e in quello delle frequenze: $\sigma_x \cdot \sigma_\xi \geq \frac{1}{4\pi}$ (principio di Heisenberg).

Tavola delle Trasformate Notevoli

$f(x)$	$\hat{f}(\xi)$
$e^{-\pi x^2}$ (gaussiana)	$e^{-\pi \xi^2}$
$\text{rect}(x)$	$\text{sinc}(\xi)$
$\delta(x)$	$1$
$e^{-a\lvert x\rvert}$ ($a>0$)	$\frac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi^2}$