Una matrice definita positiva è una matrice reale simmetrica, oppure complessa hermitiana, la cui forma quadratica associata è strettamente positiva in ogni direzione non nulla. È una classe centrale in algebra lineare, ottimizzazione, statistica, metodi numerici e modelli energetici.
Nel caso reale si considera una matrice simmetrica A=A^T e si richiede:
Nel caso complesso si richiede che A sia hermitiana, cioè A=A^*, e:
Si scrive spesso A\succ0. La condizione di simmetria o hermitianità non è un dettaglio: la definitezza positiva riguarda la parte della matrice che genera una forma quadratica reale.
Criteri equivalenti
Per una matrice reale simmetrica, le seguenti condizioni sono equivalenti:
| Criterio | Condizione |
|---|---|
| Forma quadratica | \displaystyle \mathbf{x}^TA\mathbf{x}>0 per ogni \displaystyle \mathbf{x}\ne0 |
| Autovalori | tutti gli autovalori di \displaystyle A sono positivi |
| Criterio di Sylvester | tutti i minori principali di testa sono positivi |
| Cholesky | esiste \displaystyle A=LL^T con \displaystyle L triangolare inferiore e diagonale positiva |
| Norma indotta | \displaystyle \sqrt{\mathbf{x}^TA\mathbf{x}} è una norma |
Il criterio di Sylvester è pratico per matrici piccole o simboliche; la fattorizzazione di Cholesky è il test numerico naturale nei calcoli con matrici dense o sparse; il teorema spettrale spiega perché gli autovalori controllano il segno della forma quadratica.
Esempio in dimensione 2
Per una matrice simmetrica:
la definitezza positiva equivale a:
Per esempio:
perché 2>0 e il determinante vale 3>0.
Al contrario:
ha diagonale positiva, ma determinante -3 e autovalori 3 e -1: è indefinita. Questo esempio mostra perché guardare solo gli elementi diagonali non basta.
Semidefinita positiva e indefinita
Una matrice è semidefinita positiva se:
Si scrive A\succeq0. In questo caso può esistere un vettore non nullo per cui \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0, quindi la matrice può essere singolare. Una matrice di covarianza è sempre semidefinita positiva; è definita positiva solo quando nessuna combinazione lineare non banale delle variabili ha varianza nulla.
Se la forma quadratica assume sia valori positivi sia valori negativi, la matrice è indefinita. Se invece \mathbf{x}^TA\mathbf{x}<0 per ogni \mathbf{x}\ne0, la matrice è definita negativa.
Significato geometrico e numerico
Una matrice definita positiva definisce una norma indotta:
Le superfici di livello:
sono ellissi o ellissoidi centrati nell’origine. Gli autovettori di A danno le direzioni principali; gli autovalori positivi determinano quanto la forma cresce lungo quelle direzioni.
Dal punto di vista numerico, le matrici definite positive sono favorevoli: permettono Cholesky senza pivoting, garantiscono energia positiva, evitano direzioni di curvatura negativa e sono il caso naturale per il gradiente coniugato. Se però gli autovalori positivi sono molto piccoli, la matrice può essere definita positiva ma mal condizionata.
Dove compare
| Ambito | Ruolo della definitezza positiva |
|---|---|
| ottimizzazione | una Hessiana definita positiva indica minimo locale stretto |
| minimi quadrati | matrici normali regolarizzate diventano SPD |
| statistica | covarianze non degeneri e distanza di Mahalanobis |
| elementi finiti | matrici di rigidezza di sistemi ben vincolati |
| controllo | funzioni di Lyapunov quadratiche V(x)=x^TPx con P\succ0 |
| probabilità gaussiana | matrici di covarianza invertibili |
Nella distanza di Mahalanobis, per esempio, serve una matrice di covarianza invertibile:
Se \Sigma\succ0, allora anche \Sigma^{-1}\succ0 e la quantità è positiva per ogni x\ne\mu.
Errori comuni
Il primo errore è controllare solo che gli elementi diagonali siano positivi. È una condizione necessaria, ma non sufficiente: contano anche i termini fuori diagonale e il segno in tutte le direzioni.
Il secondo errore è applicare criteri per matrici simmetriche a matrici non simmetriche senza prima chiarire quale forma quadratica si sta usando. Per una matrice reale generica M, la quantità \mathbf{x}^TM\mathbf{x} dipende solo dalla parte simmetrica:
Il terzo errore è confondere definita positiva e semidefinita positiva. Una matrice semidefinita positiva può essere singolare, quindi non sempre è invertibile e non sempre ammette Cholesky classica con diagonale strettamente positiva.
Il quarto errore è ignorare la scala numerica: una matrice teoricamente definita positiva ma quasi singolare può causare instabilità, fattorizzazioni sensibili e soluzioni poco affidabili.
Vedi anche: forma quadratica, criterio di Sylvester, fattorizzazione di Cholesky, teorema spettrale, matrice di Gram, autovalore, Hessiana, matrice di covarianza, gradiente coniugato e formulario di algebra lineare e geometria.