Il criterio di Sylvester permette di riconoscere la definitezza di una forma quadratica reale attraverso i determinanti di alcune sottomatrici. Si applica, nella forma più usata nei corsi di algebra lineare e analisi, a matrici reali simmetriche.
Data una matrice simmetrica A\in\mathbb{R}^{n\times n}, la forma quadratica associata è:
La matrice è definita positiva se:
Il criterio di Sylvester afferma che ciò avviene se e solo se tutti i minori principali di testa sono positivi:
dove:
cioè il determinante della sottomatrice ottenuta prendendo le prime k righe e le prime k colonne.
La matrice è definita negativa se i segni dei minori principali di testa alternano:
Quindi \Delta_1<0, \Delta_2>0, \Delta_3<0 e così via.
Per esempio, per una matrice simmetrica 2\times2:
la definitezza positiva richiede:
Il solo determinante positivo non basta: una matrice con due autovalori negativi avrebbe determinante positivo ma sarebbe definita negativa, non positiva.
In Analisi II il criterio si usa spesso sull’Hessiana per classificare punti critici di funzioni di più variabili. Se l’Hessiana nel punto critico è definita positiva, il punto è un minimo locale stretto; se è definita negativa, è un massimo locale stretto; se è indefinita, il punto è di sella. Se la matrice è semidefinita o il criterio non decide, servono analisi ulteriori.
È importante non confondere i minori principali di testa con tutti i minori principali. Per la definitezza positiva di matrici simmetriche bastano i minori di testa; per la semidefinitezza positiva, invece, la condizione coinvolge tutti i minori principali non negativi, e il criterio semplice sui soli minori di testa non è sufficiente.
Vedi anche: matrice definita positiva, forma quadratica, fattorizzazione di Cholesky.