Distanza di Mahalanobis

La distanza di Mahalanobis è una misura di distanza statistica che generalizza il concetto di distanza euclidea nel caso di variabili correlate e con diverse scale di grandezza.

Definizione Matematica

Dato un punto (vettore) $\mathbf{x}$ e una distribuzione con media $\boldsymbol{\mu}$ e matrice di covarianza $\boldsymbol{\Sigma}$, la distanza di Mahalanobis $D_M$ è: $D_M(\mathbf{x}) = \sqrt{(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})}$

Perché è superiore alla distanza euclidea?

La distanza euclidea tratta ogni coordinata con lo stesso “peso” e ignora le correlazioni. La distanza di Mahalanobis, invece:

1. Normalizza le scale: divide per la deviazione standard di ogni variabile.
2. Decorrela le variabili: tiene conto del fatto che alcune variabili potrebbero variare insieme. In pratica, crea degli “ellissoidi di confidenza” attorno alla media: punti che hanno la stessa distanza di Mahalanobis sono egualmente probabili sotto una distribuzione normale multivariata.

Significato Ingegneristico

• Rilevamento di Outlier: In un sistema di monitoraggio industriale, un punto potrebbe avere coordinate che singolarmente sembrano normali, ma la cui combinazione è statisticamente impossibile. La distanza di Mahalanobis permette di identificare questi punti anomali.
• Classificazione (Pattern Recognition): Utilizzata nell’analisi discriminante lineare (LDA) per assegnare un nuovo campione alla classe “più vicina” in senso statistico.
• Ingegneria della Qualità: Monitoraggio di processi dove più variabili sono legate tra loro (es. pressione e temperatura in una caldaia); una variazione della sola pressione potrebbe essere normale, ma se non accompagnata dalla variazione attesa della temperatura, la distanza di Mahalanobis segnalerà un problema.

Vedi anche: Covarianza, Distanza Euclidea, Analisi delle Componenti Principali.