Matrice aumentata — ingegnerismo.it

La matrice aumentata, detta anche matrice completa in molti corsi di algebra lineare, è la matrice che rappresenta insieme i coefficienti e i termini noti di un sistema lineare. Serve a risolvere il sistema con l’eliminazione di Gauss e a discutere la compatibilità tramite il teorema di Rouché-Capelli.

Se il sistema è scritto in forma matriciale come:

A\mathbf{x}=\mathbf{b},

con:

A\in\mathbb{K}^{m\times n}, \qquad \mathbf{x}\in\mathbb{K}^{n}, \qquad \mathbf{b}\in\mathbb{K}^{m},

la matrice aumentata è:

(A\,|\,\mathbf{b}).

La barra verticale non indica una nuova operazione algebrica: è un separatore tipografico che ricorda dove finisce la matrice dei coefficienti e dove inizia la colonna dei termini noti.

Forma esplicita

Per il sistema:

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m, \end{cases}

la matrice aumentata è:

(A\,|\,\mathbf{b}) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}.

Ogni riga rappresenta un’equazione. Le prime $n$ colonne rappresentano i coefficienti delle incognite, mentre l’ultima colonna rappresenta i termini noti.

Uso nell’eliminazione di Gauss

L’eliminazione di Gauss opera sulle righe della matrice aumentata. Le operazioni ammesse sono:

scambio di due righe;
moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo;
somma a una riga di un multiplo di un’altra riga.

Queste operazioni corrispondono a trasformazioni equivalenti delle equazioni: non cambiano l’insieme delle soluzioni del sistema. Riducendo la matrice aumentata a forma a scala si leggono direttamente pivot, variabili libere e possibili contraddizioni.

Una riga finale del tipo:

0\quad 0\quad \cdots\quad 0\mid c, \qquad c\ne0,

significa:

0=c,

quindi il sistema è incompatibile.

Collegamento con il rango

La matrice aumentata è essenziale perché la compatibilità non dipende solo dal rango di $A$ , ma dal confronto tra $A$ e $(A\,|\,\mathbf{b})$ .

Il teorema di Rouché-Capelli afferma:

A\mathbf{x}=\mathbf{b} \quad \text{è compatibile} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\,|\,\mathbf{b}).

Se aggiungere la colonna $\mathbf{b}$ aumenta il rango, il termine noto richiede una combinazione che le colonne di $A$ non possono generare. In quel caso il sistema non ha soluzioni.

Errori comuni

Modificare colonne invece di righe: nelle procedure di soluzione, le operazioni elementari devono essere sulle righe; le colonne cambiano il significato delle incognite.
Dimenticare il termine noto: ridurre solo $A$ non basta per decidere la compatibilità del sistema.
Confondere matrice aumentata e matrice dei coefficienti: la prima contiene anche $\mathbf{b}$ , la seconda no.
Leggere una riga nulla come variabile libera senza guardare l’ultima colonna: se l’ultima colonna è non nulla, non ci sono variabili libere; c’è una contraddizione.

Vedi anche: sistemi di equazioni, sistema lineare, eliminazione di Gauss, teorema di Rouché-Capelli e rango.