Il teorema di Rouché-Capelli stabilisce che il sistema lineare
ammette soluzioni se e solo se
dove (A\,|\,b) è la matrice aumentata ottenuta aggiungendo il termine noto come colonna.
Se il sistema è compatibile, il numero di parametri liberi della soluzione è
dove n è il numero di incognite. Geometricamente, la condizione dice che b deve appartenere allo spazio generato dalle colonne di A.
Matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema di m equazioni in n incognite,
la matrice A\in\mathbb{K}^{m\times n} contiene i coefficienti delle incognite, mentre la matrice completa è
ottenuta aggiungendo a A la colonna dei termini noti. Il teorema confronta il rango di queste due matrici.
Se aggiungere b aumenta il rango, significa che il termine noto introduce una direzione non generata dalle colonne di A: il sistema è incompatibile.
Criterio di compatibilità
Il sistema è compatibile se e solo se
Se i ranghi sono diversi, non esistono soluzioni. Se sono uguali, esistono soluzioni e il numero di gradi di libertà è
Quindi:
- se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\,|\,b)=n, il sistema ha soluzione unica;
- se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\,|\,b)\lt n, il sistema ha infinite soluzioni;
- se \operatorname{rank}(A)\lt\operatorname{rank}(A\,|\,b), il sistema non ha soluzioni.
Interpretazione geometrica
Le colonne di A generano lo spazio dei vettori che possono essere scritti come Ax. Il sistema chiede se b appartiene a questo spazio. In forma compatta:
Questa è la ragione geometrica del teorema: il sistema è risolubile esattamente quando il termine noto appartiene all’immagine dell’applicazione lineare rappresentata da A.
Nel caso di due equazioni in due incognite, le equazioni rappresentano rette: possono intersecarsi in un punto, coincidere o essere parallele distinte. Il teorema generalizza questa classificazione a qualunque dimensione.
Collegamento con sistemi quadrati
Se A è quadrata e
allora \operatorname{rank}(A)=n e il sistema ha soluzione unica per ogni b. In questo caso si può usare anche la regola di Cramer, almeno per sistemi piccoli o calcoli simbolici.
Se invece \det(A)=0, il teorema di Rouché-Capelli diventa lo strumento corretto: bisogna controllare se il rango della matrice completa resta uguale o aumenta.
Procedura operativa
Per applicare il teorema si può:
- costruire la matrice completa (A\,|\,b);
- ridurre A e (A\,|\,b) con eliminazione di Gauss;
- contare i pivot;
- confrontare i ranghi;
- dedurre compatibilità e numero di parametri liberi.
La riduzione a scala è più pratica del calcolo diretto di determinanti quando il sistema è grande o rettangolare.
Esempio concettuale
Se durante la riduzione compare una riga del tipo
il sistema è incompatibile: la matrice completa ha un pivot nella colonna dei termini noti, mentre la matrice dei coefficienti no.
Se invece le righe nulle sono coerenti e restano variabili senza pivot, quelle variabili diventano parametri liberi.
Errori comuni
Un errore frequente è guardare solo il numero di equazioni e incognite. Un sistema con più equazioni che incognite può essere compatibile; un sistema con meno equazioni può essere incompatibile. Conta il rango, non il solo conteggio.
Un altro errore è confondere il caso compatibile indeterminato con il caso incompatibile. Entrambi possono presentare rango minore di n, ma solo il confronto con la matrice completa decide se soluzioni esistono.