La regola di Cramer risolve un sistema quadrato
quando \det(A)\ne0. La componente x_i della soluzione è
dove A_i è la matrice ottenuta sostituendo la colonna i di A con il vettore b.
La regola è elegante e utile per sistemi piccoli o dimostrazioni simboliche. Per sistemi numerici grandi è inefficiente: richiede molti determinanti e viene sostituita da eliminazione di Gauss o fattorizzazioni matriciali.
Condizione di applicabilità
La regola di Cramer si applica a sistemi quadrati con A\in\mathbb{K}^{n\times n} e
Questa condizione equivale a dire che A è invertibile, che le colonne di A sono linearmente indipendenti e che il sistema ha una sola soluzione. Se il determinante è nullo, la regola non si può usare: il sistema può avere infinite soluzioni oppure nessuna.
In termini del teorema di Rouché-Capelli, quando \det(A)\ne0 si ha \operatorname{rank}(A)=n, quindi il sistema è sempre compatibile e determinato per qualunque b.
Formula generale
Dato il sistema
si costruisce A_i sostituendo la colonna i di A con il vettore dei termini noti b. Allora
La formula fornisce direttamente ogni componente della soluzione, senza calcolare esplicitamente la matrice inversa.
Esempio 2x2
Per il sistema
la matrice dei coefficienti è
Se ad-bc\ne0, allora
Questa forma è utile nei calcoli manuali e nelle dimostrazioni, perché mostra in modo trasparente il ruolo del determinante.
Interpretazione geometrica
Nel caso 2\times2, |\det(A)| è l’area del parallelogramma generato dalle colonne di A. Se l’area è nulla, le colonne sono allineate e il sistema non determina univocamente il piano. Se l’area è non nulla, le colonne formano una base e ogni b si esprime in modo unico come combinazione lineare delle colonne.
In dimensione maggiore, il determinante misura il volume orientato trasformato dalla matrice.
Uso teorico e uso numerico
La regola di Cramer è importante perché collega sistemi lineari, determinanti e invertibilità. È spesso usata per dimostrare proprietà simboliche, dipendenze parametriche e formule esplicite in dimensione piccola.
Dal punto di vista numerico, però, è inefficiente. Calcolare n determinanti di matrici n\times n è molto più costoso e meno stabile rispetto a metodi come eliminazione di Gauss o fattorizzazione LU.
In calcolo scientifico, risolvere Ax=b significa quasi sempre fattorizzare A, non applicare Cramer.
Errori comuni
Un errore frequente è applicare la formula anche quando \det(A)=0. In quel caso il denominatore annulla la formula e bisogna studiare rango e compatibilità del sistema.
Un altro errore è considerarla un buon algoritmo generale. È una formula elegante e concettualmente utile, ma non un metodo pratico per sistemi grandi, mal condizionati o con dati numerici approssimati.