La fattorizzazione LU scrive una matrice quadrata come prodotto di una matrice triangolare inferiore e di una triangolare superiore. Nella forma senza pivoting:
dove L è triangolare inferiore e U è triangolare superiore. Spesso L è scelta con diagonale unitaria, mentre U contiene i pivot dell’eliminazione.
Nei calcoli numerici la forma più usata è con pivoting parziale:
dove P è una matrice di permutazione che registra gli scambi di riga.
Una volta nota la fattorizzazione, il sistema Ax=b si risolve con due sostituzioni:
È l’eliminazione di Gauss riorganizzata in forma riutilizzabile, utile quando si devono risolvere molti sistemi con la stessa matrice e termini noti diversi.
Quando esiste
Una fattorizzazione A=LU senza scambi di riga esiste, in forma regolare, se i pivot dell’eliminazione non si annullano. Una condizione sufficiente comune è che i minori principali di testa siano non nulli.
Con pivoting parziale, per una matrice quadrata non singolare si ottiene in pratica:
Questa è la forma implementata nelle librerie numeriche perché evita divisioni per pivot nulli o molto piccoli.
Costo e riuso
La fattorizzazione LU costa circa:
operazioni aritmetiche per una matrice densa n\times n. Una volta calcolata, ogni nuovo termine noto richiede solo due sostituzioni triangolari, quindi costo dell’ordine di n^2.
Confronto con altre fattorizzazioni
| Metodo | Matrici tipiche | Uso principale |
|---|---|---|
| LU con pivoting | quadrate generiche | sistemi lineari diretti |
| Cholesky | simmetriche definite positive | sistemi più economici e stabili su matrici SPD |
| QR | rettangolari o minimi quadrati | stabilità e regressione numerica |
Errore tipico: calcolare esplicitamente A^{-1} per risolvere Ax=b. Numericamente si preferisce fattorizzare A e risolvere sistemi triangolari.
Vedi anche: Pivoting parziale, Eliminazione di Gauss, Fattorizzazione di Cholesky, Fattorizzazione QR, Numero di condizionamento.