Funzione gamma incompleta

La funzione gamma incompleta nasce dalla funzione gamma quando l’integrale non viene calcolato su tutto l’intervallo $[0,+\infty)$ , ma viene interrotto a un valore finito.

La funzione gamma incompleta inferiore è:

\gamma(s,x)= \int_0^x t^{s-1}e^{-t}\,dt, \qquad s\gt0,\ x\ge0.

La funzione gamma incompleta superiore è:

\Gamma(s,x)= \int_x^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\,dt.

La somma ricostruisce la gamma completa:

\gamma(s,x)+\Gamma(s,x)=\Gamma(s).

Interpretazione

La gamma completa misura l’intera area sotto la funzione $t^{s-1}e^{-t}$ . Le funzioni incomplete separano questa area in due parti: quella accumulata fino a $x$ e quella residua oltre $x$ .

Questa separazione è utile quando non interessa soltanto la normalizzazione di una densità, ma anche la probabilità accumulata fino a una soglia.

Geometricamente, $\gamma(s,x)$ è l’area da $0$ a $x$ , mentre $\Gamma(s,x)$ è la coda da $x$ a $+\infty$ . Cambiando $x$ , si sposta il punto di taglio; cambiando $s$ , cambia la forma dell’integrando.

Casi limite

Per $x=0$ :

\gamma(s,0)=0, \qquad \Gamma(s,0)=\Gamma(s).

Per $x\to+\infty$ :

\gamma(s,x)\to\Gamma(s), \qquad \Gamma(s,x)\to0.

Questi limiti sono coerenti con l’interpretazione come area accumulata e area residua.

Forme regolarizzate

In probabilità si usano spesso le forme regolarizzate:

P(s,x)=\dfrac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)}, \qquad Q(s,x)=\dfrac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)}.

Esse soddisfano:

P(s,x)+Q(s,x)=1.

$P(s,x)$ è una quantità compresa tra $0$ e $1$ e può essere interpretata come funzione di ripartizione in molte distribuzioni.

La forma regolarizzata è spesso preferibile nei software statistici, perché evita di esporre direttamente valori molto grandi o molto piccoli della gamma completa. Quando si calcolano probabilità di coda, usare $Q(s,x)$ invece di $1-P(s,x)$ può essere numericamente più accurato.

Collegamento con la distribuzione gamma

Se $X$ segue una distribuzione gamma con forma $\alpha$ e tasso $\lambda$ , la funzione di ripartizione è:

F_X(x)= P(\alpha,\lambda x).

Per questo le funzioni gamma incomplete compaiono nel calcolo di probabilità di superamento, tempi di attesa, affidabilità e test statistici.

Nel caso della distribuzione chi-quadro con $k$ gradi di libertà:

F(x)= P\left(\dfrac{k}{2},\dfrac{x}{2}\right).

Di conseguenza, le tavole e gli algoritmi per la chi-quadro sono strettamente legati al calcolo della gamma incompleta regolarizzata. Lo stesso vale per soglie di affidabilità, code di distribuzione e p-value in test statistici.

Ricorrenze

Le funzioni incomplete soddisfano relazioni ricorsive analoghe a quelle della gamma completa. Per esempio:

\gamma(s+1,x)= s\gamma(s,x)-x^s e^{-x}.

Per la funzione superiore:

\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x)+x^s e^{-x}.

Queste formule permettono di passare tra parametri consecutivi, ma vanno usate con cautela numerica: in alcune regioni possono amplificare errori di arrotondamento.

Caso semi-intero e normale

Per $s=\dfrac{1}{2}$ la gamma incompleta è collegata alla funzione errore:

P\left(\dfrac{1}{2},x\right) = \operatorname{erf}(\sqrt{x}).

Questo collega la gamma incompleta all’integrale gaussiano e alla distribuzione normale. Non è una coincidenza: sia la normale sia la chi-quadro derivano da integrali gaussiani e potenze esponenziali.

Calcolo numerico

Le funzioni gamma incomplete non si calcolano di solito integrando direttamente la definizione. Si usano sviluppi in serie, frazioni continue, approssimazioni asintotiche e algoritmi specializzati. La scelta dipende da $s$ , da $x$ e dalla precisione richiesta.

Quando $x$ è piccolo rispetto a $s$ , può essere più stabile lavorare con $P(s,x)$ ; quando la probabilità di coda è molto piccola, è spesso meglio calcolare direttamente $Q(s,x)$ per evitare cancellazioni numeriche.

Nei modelli statistici si lavora spesso in scala logaritmica quando compaiono fattori di normalizzazione con gamma. In questi casi la log-gamma aiuta a mantenere stabili prodotti e rapporti molto grandi.

Applicazioni in affidabilità

Nell’affidabilità e nei modelli di vita, la distribuzione gamma descrive tempi positivi e accumuli di eventi. La probabilità che un tempo di guasto sia minore di una soglia $t$ può essere espressa con una gamma incompleta regolarizzata.

Se $T$ è gamma con forma $\alpha$ e tasso $\lambda$ :

\mathbb{P}(T\le t)=P(\alpha,\lambda t).

La probabilità di sopravvivenza oltre $t$ è:

\mathbb{P}(T\gt t)=Q(\alpha,\lambda t).

Questa distinzione tra probabilità accumulata e probabilità di coda è operativa: una specifica può richiedere di stimare il rischio entro una scadenza oppure la probabilità di superarla senza guasto.

Notazione

La notazione può creare confusione perché $\Gamma(s,x)$ indica la gamma incompleta superiore, mentre $\Gamma(s)$ indica la gamma completa. La presenza del secondo argomento è essenziale: non è un parametro accessorio, ma il punto di taglio dell’integrale.

Inoltre, alcuni software restituiscono direttamente $P(s,x)$ o $Q(s,x)$ , non $\gamma(s,x)$ o $\Gamma(s,x)$ . Prima di usare un valore numerico bisogna verificare se è normalizzato.

Errori comuni

Un errore frequente è confondere $\Gamma(s,x)$ con $\Gamma(x)$ . Nella gamma incompleta il secondo argomento è un estremo di integrazione, non l’argomento della gamma completa.

Un altro errore è dimenticare la normalizzazione: $\gamma(s,x)$ non è una probabilità se non viene divisa per $\Gamma(s)$ .