Distribuzione Gamma

La distribuzione Gamma è una famiglia di distribuzioni di probabilità continue a due parametri. È una delle distribuzioni più versatili in ingegneria perché, variando i parametri, può assumere forme molto diverse.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione Gamma con parametri $\alpha > 0$ (forma o shape) e $\beta > 0$ (tasso o rate) se la sua densità è: $f_X(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, \quad x > 0$ dove $\Gamma(\alpha)$ è la Funzione Gamma.

Casi Particolari

• Se $\alpha = 1$, si ottiene la Distribuzione Esponenziale.
• Se $\alpha$ è un intero positivo $n$, si ottiene la Distribuzione di Erlang, che modella il tempo di attesa per l’$n$-esimo evento in un processo di Poisson.
• Se $\alpha = n/2$ e $\beta = 1/2$, si ottiene la Distribuzione Chi-Quadro.

Indicatori Statistici

• Valore Atteso: $E[X] = \alpha/\beta$
• Varianza: $\text{Var}(X) = \alpha/\beta^2$

Significato Ingegneristico

• Idrologia: La distribuzione Gamma è usata per modellare l’altezza delle precipitazioni e le portate dei fiumi.
• Teoria delle Code: La distribuzione di Erlang (caso particolare della Gamma) modella il tempo totale di servizio in sistemi dove il servizio è composto da $n$ fasi esponenziali consecutive.
• Affidabilità: Modella sistemi che si guastano solo dopo aver subito un numero $\alpha$ di urti o shock casuali indipendenti.
• Radiocomunicazioni: Modella il fading (attenuazione del segnale) in canali con cammini multipli (distribuzione di Nakagami-m).

Vedi anche: Distribuzione Esponenziale, Distribuzione Chi-Quadro, Funzione Gamma.