La distribuzione Gamma è una famiglia di distribuzioni di probabilità continue a due parametri. È una delle distribuzioni più versatili in ingegneria perché, variando i parametri, può assumere forme molto diverse.
Definizione
Una variabile aleatoria X segue la distribuzione Gamma con parametri \alpha > 0 (forma o shape) e \beta > 0 (tasso o rate) se la sua densità è: f_X(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, \quad x > 0 dove \Gamma(\alpha) è la Funzione Gamma.
Casi Particolari
- Se \alpha = 1, si ottiene la Distribuzione Esponenziale.
- Se \alpha è un intero positivo n, si ottiene la Distribuzione di Erlang, che modella il tempo di attesa per l’n-esimo evento in un processo di Poisson.
- Se \alpha = n/2 e \beta = 1/2, si ottiene la Distribuzione Chi-Quadro.
Indicatori Statistici
- Valore Atteso: E[X] = \alpha/\beta
- Varianza: \text{Var}(X) = \alpha/\beta^2
Significato Ingegneristico
- Idrologia: La distribuzione Gamma è usata per modellare l’altezza delle precipitazioni e le portate dei fiumi.
- Teoria delle Code: La distribuzione di Erlang (caso particolare della Gamma) modella il tempo totale di servizio in sistemi dove il servizio è composto da n fasi esponenziali consecutive.
- Affidabilità: Modella sistemi che si guastano solo dopo aver subito un numero \alpha di urti o shock casuali indipendenti.
- Radiocomunicazioni: Modella il fading (attenuazione del segnale) in canali con cammini multipli (distribuzione di Nakagami-m).
Vedi anche: Distribuzione Esponenziale, Distribuzione Chi-Quadro, Funzione Gamma.