Integrale gaussiano

L’integrale gaussiano è l’integrale improprio:

\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}.

È uno dei risultati fondamentali dell’analisi matematica e della probabilità, perché spiega la costante di normalizzazione della distribuzione normale e il valore:

\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}

della funzione gamma.

Perché non si integra direttamente

La funzione $e^{-x^2}$ non ha una primitiva elementare. L’integrale si calcola usando un trucco bidimensionale. Si pone:

I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx.

Allora:

I^2= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.

Passando a coordinate polari:

I^2= \int_0^{2\pi}\int_0^{+\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta.

Poiché:

\int_0^{+\infty}e^{-r^2}r\,dr=\dfrac{1}{2},

si ottiene:

I^2=\pi, \qquad I=\sqrt{\pi}.

Il passaggio a coordinate polari è il punto decisivo: l’esponenziale dipende da $x^2+y^2$ , quindi diventa una funzione del solo raggio $r$ . Il fattore jacobiano $r$ rende elementare l’integrale radiale.

Forma con parametro

Una forma molto usata è:

\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a x^2}\,dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}, \qquad a\gt0.

Deriva dal cambio di variabile $u=\sqrt{a}\,x$ . Questa formula compare in fisica matematica, statistica, meccanica statistica, segnali e metodi asintotici.

Sull’intervallo positivo, per simmetria:

\int_0^{+\infty}e^{-a x^2}\,dx= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}, \qquad a\gt0.

Questa forma è spesso quella che appare nei collegamenti con la funzione gamma.

Momenti gaussiani

Gli integrali con potenze pari si ottengono derivando rispetto al parametro $a$ :

\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 e^{-a x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\,a^{-3/2}.

Più in generale, gli integrali gaussiani controllano i momenti della distribuzione normale. Le potenze dispari integrate su tutto l’asse si annullano per simmetria:

\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2k+1}e^{-a x^2}\,dx=0.

Collegamento con la normale

La densità normale standard è:

f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.

La costante $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ serve proprio a far sì che l’area totale sia $1$ :

\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1.

Per una normale con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ :

f(x)= \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left( -\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right).

Il cambio di variabile:

z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}

riporta l’integrale alla normale standard. Questo è il motivo per cui la stessa costante appare in tutte le densità gaussiane unidimensionali.

Collegamento con la funzione gamma

Usando la definizione della gamma:

\Gamma(s)= \int_0^{+\infty} t^{s-1}e^{-t}\,dt,

e il cambio $t=x^2$ , si ottiene:

\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)= \int_0^{+\infty}t^{-1/2}e^{-t}\,dt =\sqrt{\pi}.

Questo collega integrali gaussiani, distribuzione normale e funzioni speciali.

Forma multidimensionale

In dimensione $n$ , se $A$ è simmetrica definita positiva:

\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-x^TAx)\,dx = \dfrac{\pi^{n/2}}{\sqrt{\det A}}.

Questa formula è centrale in statistica multivariata, meccanica statistica, modelli gaussiani e metodi di Laplace. Il determinante misura quanto la trasformazione quadratica comprime o dilata il volume.

Integrale con termine lineare

Una forma molto utile include un termine lineare nell’esponente:

\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-a x^2+bx)\,dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \exp\left(\dfrac{b^2}{4a}\right), \qquad a\gt0.

Si ottiene completando il quadrato:

-a x^2+bx = -a\left(x-\dfrac{b}{2a}\right)^2 +\dfrac{b^2}{4a}.

Questa tecnica appare nelle distribuzioni normali, negli integrali di partizione, nei metodi bayesiani gaussiani e nella soluzione di problemi quadratici.

Applicazioni

L’integrale gaussiano è usato in:

Ambito	Uso
probabilità	normalizzazione della normale
statistica	likelihood gaussiane e modelli lineari
fisica	distribuzioni di Maxwell-Boltzmann e partizioni
segnali	filtri gaussiani e trasformate
analisi asintotica	metodo di Laplace

La sua importanza deriva dal fatto che molte approssimazioni locali trasformano una funzione generica in una forma quadratica nell’esponente.

Metodo di Laplace

Se una funzione positiva è dominata da un massimo isolato, vicino al massimo il logaritmo può essere approssimato da una parabola. Questo porta a integrali gaussiani. In forma qualitativa:

f(x)\simeq f(x_0) \exp\left( -\dfrac{a}{2}(x-x_0)^2 \right).

Allora l’area principale è governata da:

\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left( -\dfrac{a}{2}(x-x_0)^2 \right)\,dx = \sqrt{\dfrac{2\pi}{a}}.

Questa idea è alla base di approssimazioni asintotiche, stime bayesiane locali e analisi di integrali con parametro grande.

Incertezza e curvatura

Nelle approssimazioni gaussiane, la curvatura del termine quadratico misura quanto la distribuzione è concentrata. Se $a$ è grande, la campana è stretta; se $a$ è piccolo, la campana è larga. Questo collega l’integrale gaussiano alla nozione di incertezza: maggiore curvatura significa minore dispersione locale.

Nel caso multivariato, la matrice $A$ svolge lo stesso ruolo: autovalori grandi indicano direzioni concentrate, autovalori piccoli indicano direzioni più incerte.

Errori comuni

Un errore frequente è cercare una primitiva elementare di $e^{-x^2}$ . L’integrale definito su tutto l’asse si calcola, ma l’antiderivata non è esprimibile con funzioni elementari.

Un secondo errore è confondere $e^{-x^2}$ con $e^{-x}$ . Nel primo caso il decadimento è quadratico nell’esponente e la simmetria rispetto a zero è essenziale; nel secondo si ha un integrale esponenziale ordinario su semiretta.