Valore Atteso — ingegnerismo.it

Il valore atteso (o speranza matematica), indicato con $E[X]$ o $\mu$ , rappresenta il valore “centrale” di una distribuzione di probabilità. Può essere interpretato come la media dei risultati che si otterrebbero ripetendo l’esperimento un numero infinito di volte.

Definizioni

Variabili Discrete: È la somma dei prodotti tra ogni valore e la sua probabilità: $E[X] = \sum_{x_i \in \text{supp}(X)} x_i \cdot P(X = x_i)$
Variabili Continue: È l’integrale del prodotto tra il valore e la sua densità su tutto l’asse reale: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) \, dx$

Proprietà Fondamentali

Linearità: $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ per qualsiasi costante $a, b$ e variabili $X, Y$ . Questa proprietà vale anche se le variabili sono dipendenti.
Indipendenza: Se $X$ e $B$ sono indipendenti, allora $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$ .
Monotonia: Se $X \leq Y$ quasi certamente, allora $E[X] \leq E[Y]$ .

Significato Ingegneristico

Analisi dei Costi e dei Rischi: In ingegneria gestionale, il valore atteso è usato per calcolare il costo atteso di un progetto o il rischio finanziario associato a diversi scenari produttivi.
Teoria dei Segnali: Il valore atteso di un segnale aleatorio corrisponde alla sua componente continua (DC - Direct Current). Rimuovere il valore atteso equivale a studiare solo le fluttuazioni del segnale (AC).
Progettazione Meccanica: Nel dimensionamento a fatica, si utilizza il valore atteso dei carichi ciclici per stimare la vita utile residua di una struttura.
Teoria delle Decisioni: Un ingegnere sceglie spesso l’alternativa che massimizza il valore atteso di un’utilità (es. efficienza, guadagno) o minimizza il valore atteso di una perdita.

Vedi anche: Varianza, Legge dei Grandi Numeri, Valore Medio.