Gli integrali impropri (o generalizzati) estendono la definizione di integrale di Riemann a casi in cui l’intervallo di integrazione non è limitato o la funzione integranda non è limitata nel dominio.
Tipologie
- Prima Specie (Intervallo illimitato): \int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{M \to +\infty} \int_a^M f(x) \, dx
- Seconda Specie (Funzione illimitata): \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) \, dx (se la funzione tende a \infty in a).
Risultato dell’Integrale
- Convergente: Se il limite esiste ed è finito.
- Divergente: Se il limite è \pm \infty.
- Indeterminato: Se il limite non esiste.
Criteri di Convergenza
Spesso non è possibile calcolare la primitiva. Si usano allora i criteri del confronto e del confronto asintotico con integrali di riferimento del tipo \int 1/x^\alpha \, dx.
Integrali di Riferimento
L’integrale \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha} converge se e solo se \alpha > 1; l’integrale \int_0^1 \frac{dx}{x^\alpha} converge se e solo se \alpha < 1. Questi sono i termini di paragone standard per i criteri del confronto.
Significato Ingegneristico
- Energia Totale: Molti segnali hanno durata infinita ma energia finita, calcolata come \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2\,dt.
- Probabilità: Le funzioni di densità di probabilità (come la Gaussiana) sono definite su tutto l’asse reale; l’integrale improprio deve valere 1 per la normalizzazione.
- Trasformate: La trasformata di Laplace e di Fourier sono integrali impropri di prima specie; la loro convergenza determina il dominio di definizione della trasformata.
- Affidabilità: Nello studio della vita utile di componenti, si integrano le funzioni di guasto fino a tempo infinito.