La varianza, indicata con \text{Var}(X) o \sigma^2, è una misura della dispersione di una variabile aleatoria attorno alla sua media \mu = E[X]. Rappresenta il momento centrale di secondo ordine.
Definizione
La varianza è definita come il valore atteso del quadrato dello scarto dalla media: \text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]
Una formula alternativa molto utilizzata per il calcolo è: \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 (Ovvero: il valore atteso del quadrato meno il quadrato del valore atteso).
Proprietà
- Non negatività: \text{Var}(X) \geq 0 sempre.
- Invarianza per traslazione: \text{Var}(X + c) = \text{Var}(X).
- Omogeneità quadratica: \text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X).
- Somma di variabili indipendenti: Se X e Y sono indipendenti, \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y).
La radice quadrata della varianza è la Deviazione Standard (\sigma), che ha la stessa unità di misura della variabile originale.
Significato Ingegneristico
- Ingegneria della Qualità e Tolleranze: La varianza misura l’imprecisione di un processo produttivo. Un processo ad “alta varianza” produce pezzi molto diversi tra loro, aumentando gli scarti. L’obiettivo del Six Sigma è proprio la riduzione della varianza.
- Telecomunicazioni: La varianza di un segnale di rumore rappresenta la sua potenza media (Noise Power). Maggiore è la varianza del rumore, minore sarà il rapporto segnale-rumore (SNR) e peggiore la qualità della comunicazione.
- Analisi Strutturale: La varianza dei carichi ambientali (vento, sisma) determina l’incertezza sulla stabilità di una struttura e influenza i coefficienti di sicurezza da adottare.
- Finanza e Logistica: Misura il rischio o l’incertezza sulla domanda di mercato o sui tempi di approvvigionamento.
Vedi anche: Valore Atteso, Deviazione Standard, Momento Statistico.