Varianza

La varianza, indicata con $\text{Var}(X)$ o $\sigma^2$, è una misura della dispersione di una variabile aleatoria attorno alla sua media $\mu = E[X]$. Rappresenta il momento centrale di secondo ordine.

Definizione

La varianza è definita come il valore atteso del quadrato dello scarto dalla media: $\text{Var}(X) = E[(X - E[X])^2]$

Una formula alternativa molto utilizzata per il calcolo è: $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ (Ovvero: il valore atteso del quadrato meno il quadrato del valore atteso).

Proprietà

1. Non negatività: $\text{Var}(X) \geq 0$ sempre.
2. Invarianza per traslazione: $\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X)$.
3. Omogeneità quadratica: $\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$.
4. Somma di variabili indipendenti: Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

La radice quadrata della varianza è la Deviazione Standard ($\sigma$), che ha la stessa unità di misura della variabile originale.

Significato Ingegneristico

• Ingegneria della Qualità e Tolleranze: La varianza misura l’imprecisione di un processo produttivo. Un processo ad “alta varianza” produce pezzi molto diversi tra loro, aumentando gli scarti. L’obiettivo del Six Sigma è proprio la riduzione della varianza.
• Telecomunicazioni: La varianza di un segnale di rumore rappresenta la sua potenza media (Noise Power). Maggiore è la varianza del rumore, minore sarà il rapporto segnale-rumore (SNR) e peggiore la qualità della comunicazione.
• Analisi Strutturale: La varianza dei carichi ambientali (vento, sisma) determina l’incertezza sulla stabilità di una struttura e influenza i coefficienti di sicurezza da adottare.
• Finanza e Logistica: Misura il rischio o l’incertezza sulla domanda di mercato o sui tempi di approvvigionamento.

Vedi anche: Valore Atteso, Deviazione Standard, Momento Statistico.